ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.91

Условие предыдущей задачи (№ 5.90): *«Сторона квадрата равна $1$. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна вершина которого совпадает с вершиной квадрата, а две другие лежат на его сторонах.»* В задаче № 5.91 требуется решить аналогичную задачу, взяв вместо квадрата равносторонний треугольник со стороной $1$, в который вписан квадрат. Так как угол квадрата равен $90^\circ$, а угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$, вершина квадрата не может совпадать с вершиной треугольника (прямой угол не помещается внутри угла в $60^\circ$). Следовательно, квадрат вписывается в равносторонний треугольник единственным симметричным способом: две его вершины лежат на одной из сторон (основании), а две другие — на двух боковых сторонах. --- ### Решение Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 1$. В него вписан квадрат $KLMN$ так, что: * вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$; * вершина $N$ лежит на стороне $AB$; * вершина $M$ лежит на стороне $BC$. Обозначим сторону квадрата через $x$ ($KL = LM = MN = NK = x$). 1. Найдём высоту $BH$ треугольника $ABC$, опущенную на сторону $AC$: $$BH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 2. Сторона квадрата $NM$ параллельна стороне $AC$, следовательно, треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle NBM \sim \triangle ABC$). Высота треугольника $NBM$, проведённая из вершины $B$ к стороне $NM$, равна: $$h_1 = BH - x = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$$ 3. Из подобия треугольников отношение сторон равно отношению их высот: $$\frac{NM}{AC} = \frac{h_1}{BH}$$ Подставим значения $AC = 1$, $NM = x$, $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$: $$\frac{x}{1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ 4. Решим полученное уравнение относительно $x$: $$x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$$ $$x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x\left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}$$ $$x = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$$ 5. Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(2 - \sqrt{3})$: $$x = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$$ $$x = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} - 3$$ *(В общем случае, если сторона треугольника равна $a$, сторона квадрата равна $(2\sqrt{3} - 3)a$).* Ответ: $2\sqrt{3} - 3$