ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.90

Для нахождения вероятностей воспользуемся формулой геометрической вероятности: $$ P = \frac{S_{фиг}}{S_{общ}} $$ где $S_{общ}$ — площадь исходного (первого) квадрата, а $S_{фиг}$ — площадь соответствующей геометрической фигуры, в которую должна попасть точка. Пусть сторона исходного (1-го) квадрата равна $a$. Тогда его площадь равна: $$ S_1 = a^2 $$ При последовательном соединении середин сторон квадрата получается новый квадрат. Найдём сторону 2-го квадрата $a_2$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$: $$ a_2 = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} $$ Площадь 2-го квадрата: $$ S_2 = a_2^2 = \frac{a^2}{2} = \frac{1}{2}S_1 $$ Аналогично, вершины 3-го квадрата являются серединами сторон 2-го квадрата: $$ a_3 = \sqrt{\left(\frac{a_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_2}{2}\right)^2} = \frac{a_2}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2} $$ Площадь 3-го квадрата: $$ S_3 = a_3^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4}S_1 $$ **1)** Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит 3-му квадрату: $$ P_1 = \frac{S_3}{S_1} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ **2)** Часть 2-го квадрата, являющаяся «внешностью» 3-го квадрата, представляет собой область внутри 2-го квадрата за вычетом 3-го квадрата. Площадь этой области равна: $$ S = S_2 - S_3 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} $$ Тогда искомая вероятность равна: $$ P_2 = \frac{S}{S_1} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ **3)** Круг вписан в 3-й квадрат, следовательно, его диаметр равен стороне 3-го квадрата $a_3 = \frac{a}{2}$, а радиус равен половине этой стороны: $$ r = \frac{a_3}{2} = \frac{a}{4} $$ Площадь вписанного круга равна: $$ S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16} $$ Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит этому кругу: $$ P_3 = \frac{S_{кр}}{S_1} = \frac{\frac{\pi a^2}{16}}{a^2} = \frac{\pi}{16} $$ Ответ: 1) $\frac{1}{4}$ (или $0{,}25$); 2) $\frac{1}{4}$ (или $0{,}25$); 3) $\frac{\pi}{16}$.