ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.87

Из условия задачи 5.84 следует, что рассматривается единичный квадрат $ABCD$ со стороной $1$, внутри которого случайным образом выбирается точка. Площадь квадрата равна: $$ S_{ABCD} = 1^2 = 1 $$ По формуле геометрической вероятности, вероятность попадания точки в некоторую область внутри квадрата равна отношению площади этой благоприятствующей области $S$ к площади всего квадрата $S_{ABCD}$: $$ P = \frac{S}{S_{ABCD}} = \frac{S}{1} = S $$ **1)** Найдем вероятность того, что расстояние от выбранной точки до определенной вершины квадрата (например, вершины $A$) не превышает $a$ ($0 < a < 0,5$). Множество точек квадрата, удаленных от вершины $A$ на расстояние, не превосходящее $a$, представляет собой круговой сектор с центром в точке $A$ и радиусом $R = a$. Так как угол квадрата при вершине равен $90^\circ$, благоприятствующая область является четвертью круга: $$ S_1 = \frac{1}{4}\pi a^2 $$ Поскольку $a < 0,5$, этот сектор полностью помещается внутри квадрата. Искомая вероятность: $$ P = \frac{S_1}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{4}\pi a^2}{1} = \frac{\pi a^2}{4} $$ **Ответ к пункту 1:** $\dfrac{\pi a^2}{4}$ --- **2)** Найдем вероятность того, что расстояние от выбранной точки до центра квадрата не превышает $a$ ($0 < a < 0,5$). Множество точек, расстояние от которых до центра квадрата не превышает $a$, образует круг с центром в центре квадрата и радиусом $r = a$. Расстояние от центра квадрата до любой из его сторон равно половине стороны, то есть $0,5$. Так как по условию $a < 0,5$, данный круг целиком лежит внутри квадрата. Площадь этого круга: $$ S_2 = \pi a^2 $$ Искомая вероятность: $$ P = \frac{S_2}{S_{ABCD}} = \frac{\pi a^2}{1} = \pi a^2 $$ *(Примечание: встречающийся в некоторых изданиях учебника ответ $2\pi a^2$ является опечаткой, так как площадь круга радиуса $a$ равна $\pi a^2$).* **Ответ к пункту 2:** $\pi a^2$