ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.81

1) Упростим выражение: $$ \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)} - \frac{\tan x \cdot \cos(\pi - x)}{2} $$ Преобразуем числитель и знаменатель первой дроби: - В числителе применим формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. - В знаменателе воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$: $\sin x + \sin(\pi - x) = \sin x + \sin x = 2 \sin x$. Тогда первая дробь принимает вид: $$ \frac{\sin^2 x}{2 \sin x} = \frac{\sin x}{2} $$ Преобразуем вторую дробь: - По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$. - Так как $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем: $\tan x \cdot \cos(\pi - x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$. Тогда вторая дробь равна: $$ \frac{-\sin x}{2} = -\frac{\sin x}{2} $$ Выполним вычитание: $$ \frac{\sin x}{2} - \left(-\frac{\sin x}{2}\right) = \frac{\sin x}{2} + \frac{\sin x}{2} = \sin x $$ Ответ: $\sin x$. --- 2) Упростим выражение: $$ \frac{2 \sin \varphi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right)}{2 \cos^2 \varphi - 1} $$ Преобразуем числитель: - По формуле приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) = \cos \varphi$. - Применим формулу синуса двойного угла $2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin 2\varphi$: $2 \sin \varphi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) = 2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin 2\varphi$. Преобразуем знаменатель: - По формуле косинуса двойного угла: $2 \cos^2 \varphi - 1 = \cos 2\varphi$. Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\sin 2\varphi}{\cos 2\varphi} = \tan 2\varphi $$ Ответ: $\tan 2\varphi$.