ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.79

1) Упростим выражение по действиям: $$ \left(\frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x}\right) \cdot \left(\frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1}\right) $$ Сначала выполним вычитание в первой скобке. Учитывая, что $y - x = -(x - y)$, заменим знак перед второй дробью: $$ \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x} = \frac{ax - y}{x + y} + \frac{ay + x}{x - y} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$: $$ \frac{(ax - y)(x - y) + (ay + x)(x + y)}{x^2 - y^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (ax - y)(x - y) = ax^2 - axy - xy + y^2 $$ $$ (ay + x)(x + y) = axy + ay^2 + x^2 + xy $$ Сложим полученные многочлены: $$ ax^2 - axy - xy + y^2 + axy + ay^2 + x^2 + xy = ax^2 + x^2 + ay^2 + y^2 $$ Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель: $$ x^2(a + 1) + y^2(a + 1) = (a + 1)(x^2 + y^2) $$ Таким образом, результат в первой скобке равен: $$ \frac{(a + 1)(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2} $$ Теперь выполним деление во второй скобке, разложив знаменатель $a^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $$ \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1} = \frac{x^2 - y^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{(a + 1)(x^2 + y^2)} $$ Перемножим результаты первой и второй скобок: $$ \frac{(a + 1)(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{(a + 1)(x^2 + y^2)} = 1 $$ 2) Упростим выражение по действиям: $$ \left(\frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}}\right) \cdot \left(\frac{4ab}{b^2 - a^2}\right)^{-1} $$ Преобразуем степени с отрицательными показателями: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $b^{-1} = \frac{1}{b}$. $$ a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $$ $$ a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} $$ Подставим полученные выражения в дроби первой скобки: $$ \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{\frac{b - a}{ab}}{\frac{b + a}{ab}} = \frac{b - a}{b + a} $$ $$ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{b - a} $$ Выполним вычитание в первой скобке: $$ \frac{b - a}{b + a} - \frac{b + a}{b - a} = \frac{(b - a)^2 - (b + a)^2}{(b + a)(b - a)} $$ Применим формулу разности квадратов в числителе: $$ (b - a)^2 - (b + a)^2 = ((b - a) - (b + a))((b - a) + (b + a)) = (-2a) \cdot (2b) = -4ab $$ В знаменателе раскроем произведение по формуле разности квадратов: $(b + a)(b - a) = b^2 - a^2$. Получаем результат для первой скобки: $$ \frac{-4ab}{b^2 - a^2} $$ Преобразуем второй множитель: $$ \left(\frac{4ab}{b^2 - a^2}\right)^{-1} = \frac{b^2 - a^2}{4ab} $$ Выполним умножение: $$ \frac{-4ab}{b^2 - a^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{4ab} = -1 $$ Ответ: 1) $1$; 2) $-1$.