ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.78

Извлечение всех $n$ шаров по одному без возвращения эквивалентно случайной перестановке чисел от $1$ до $n$. Общее число всех возможных исходов (всех перестановок из $n$ элементов) равно: $$ N = n! $$ Пусть событие $A$ заключается в том, что хотя бы один раз номер извлечённого шара совпадёт с номером хода (номером позиции). Обозначим через $A_i$ событие, при котором шар с номером $i$ вынут на $i$-м ходу ($i = 1, 2, \dots, n$). Тогда событие $A$ представляет собой объединение этих событий: $$ A = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n $$ По формуле включений и исключений вероятность объединения событий равна: $$ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) + \sum_{1 \le i < j < k \le n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) $$ Найдём слагаемые этой суммы: 1. Для одного фиксированного события $A_i$: шар с номером $i$ стоит на месте $i$, а остальные $(n - 1)$ шаров могут располагаться в любом порядке. Количество таких исходов равно $(n - 1)!$. Вероятность события $A_i$: $$ P(A_i) = \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n} $$ Всего таких событий $\binom{n}{1} = n$, поэтому сумма первых слагаемых: $$ \sum_{i=1}^n P(A_i) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 $$ 2. Для совмещения двух фиксированных событий $A_i$ и $A_j$ ($i \ne j$): шары $i$ и $j$ стоят на своих местах, а остальные $(n - 2)$ шаров перемещаются произвольно. Число благоприятных исходов равно $(n - 2)!$. Вероятность: $$ P(A_i \cap A_j) = \frac{(n - 2)!}{n!} = \frac{1}{n(n - 1)} $$ Количество пар $(i, j)$ равно $\binom{n}{2} = \frac{n(n - 1)}{2!}$, поэтому сумма по всем парам: $$ \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) = \frac{n(n - 1)}{2!} \cdot \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{2!} $$ 3. Аналогично для любого числа $k$ фиксированных совпадений ($1 \le k \le n$): вероятность того, что заданные $k$ шаров окажутся на своих местах, равна: $$ P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = \frac{(n - k)!}{n!} $$ Число способов выбрать $k$ шаров равно $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$. Тогда сумма вероятностей для всех пересечений по $k$ событий равна: $$ \binom{n}{k} \cdot \frac{(n - k)!}{n!} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot \frac{(n - k)!}{n!} = \frac{1}{k!} $$ Подставим полученные значения в формулу включений и исключений: $$ P(A) = 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{n!} $$ Или в виде знака суммы: $$ P(A) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k!} $$ Ответ: $1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{n!} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k!}$.