ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.85

1) Приведём слагаемые к общему знаменателю, представив тангенс как отношение синуса к косинусу: $$ \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \operatorname{tg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ $$ = \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha (1 + \sin \alpha)}{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)} $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)} = \frac{1}{\cos \alpha} $$ **Ответ:** $\frac{1}{\cos \alpha}$ --- 2) Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу и сложим дроби: $$ \operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} $$ $$ = \frac{\cos x (1 + \cos x) + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$: $$ \frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1}{\sin x} $$ **Ответ:** $\frac{1}{\sin x}$ --- 3) Применим формулы $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ и $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$: $$ \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 = \operatorname{ctg}^2 x + 1 = \frac{1}{\sin^2 x} $$ **Ответ:** $\frac{1}{\sin^2 x}$ --- 4) Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $\operatorname{tg}^2 \alpha$: $$ (1 - \cos^2 \alpha) \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 - \operatorname{tg}^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha - 1) + 1 $$ $$ = \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot (-\cos^2 \alpha) + 1 = -\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha + 1 $$ $$ = -\sin^2 \alpha + 1 = \cos^2 \alpha $$ **Ответ:** $\cos^2 \alpha$ --- 5) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ (или формулу $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$): $$ (\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha)^2 - (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha)^2 = 4 \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{tg} \alpha $$ Так как $\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = 1$: $$ 4 \cdot 1 = 4 $$ **Ответ:** $4$ --- 6) Упростим дробь, входящую в выражение: В числителе: $$ \cos^2 x - \operatorname{ctg}^2 x = \cos^2 x - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \left(1 - \frac{1}{\sin^2 x}\right) = \cos^2 x \left(\frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} $$ В знаменателе: $$ \sin^2 x - \operatorname{tg}^2 x = \sin^2 x - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x \left(1 - \frac{1}{\cos^2 x}\right) = \sin^2 x \left(\frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x}\right) = -\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\cos^2 x - \operatorname{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \operatorname{tg}^2 x} = \frac{-\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}}{-\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}} = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x} = \frac{\cos^6 x}{\sin^6 x} = \operatorname{ctg}^6 x $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ \operatorname{ctg}^6 x - \frac{\cos^2 x - \operatorname{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \operatorname{tg}^2 x} = \operatorname{ctg}^6 x - \operatorname{ctg}^6 x = 0 $$ **Ответ:** $0$