ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.88

1) Докажем тождество: $$ (\operatorname{ctg}\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha) = (1 + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha) $$ Преобразуем выражения в скобках в левой части тождества, используя определения $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$ \operatorname{ctg}\alpha - \cos\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \cos\alpha = \cos\alpha \left(\frac{1}{\sin\alpha} - 1\right) = \frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\sin\alpha} $$ $$ \sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha \left(1 + \frac{1}{\cos\alpha}\right) = \frac{\sin\alpha(\cos\alpha + 1)}{\cos\alpha} $$ Перемножим полученные выражения: $$ (\operatorname{ctg}\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha) = \frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha} $$ Сократим дробь на $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$: $$ \frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha} = (1 - \sin\alpha)(1 + \cos\alpha) = (1 + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha) $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. 2) Докажем тождество: $$ 1 + \cos\alpha - \sin\alpha - \operatorname{ctg}\alpha = (1 - \operatorname{ctg}\alpha)(1 - \sin\alpha) $$ Преобразуем левую часть тождества с помощью группировки слагаемых: $$ 1 + \cos\alpha - \sin\alpha - \operatorname{ctg}\alpha = (1 - \sin\alpha) + (\cos\alpha - \operatorname{ctg}\alpha) $$ Так как $\cos\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha = \operatorname{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha$, перепишем вторую скобку: $$ \cos\alpha - \operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha - \operatorname{ctg}\alpha = -\operatorname{ctg}\alpha(1 - \sin\alpha) $$ Подставим это выражение обратно в левую часть: $$ (1 - \sin\alpha) - \operatorname{ctg}\alpha(1 - \sin\alpha) $$ Вынесем общий множитель $(1 - \sin\alpha)$ за скобки: $$ (1 - \sin\alpha)(1 - \operatorname{ctg}\alpha) = (1 - \operatorname{ctg}\alpha)(1 - \sin\alpha) $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано.