ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.82

1) Преобразуем левую часть тождества: $$ \operatorname{ctg}\alpha + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $$ Заменим $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin \alpha (1 + \cos \alpha)$: $$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 + \cos \alpha) + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{\cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $$ Сократим дробь на $(1 + \cos \alpha)$: $$ \frac{1}{\sin \alpha} $$ Получили правую часть. Тождество доказано. --- 2) Преобразуем числитель левой части тождества, используя формулу $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$: $$ 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 $$ Подставим полученное выражение в левую часть: $$ \frac{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2}{\sin \alpha - \cos \alpha} $$ Сократим дробь на $(\sin \alpha - \cos \alpha)$: $$ \sin \alpha - \cos \alpha $$ Получили правую часть. Тождество доказано. --- 3) Преобразуем левую часть тождества, используя следствия из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ и $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $$ \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} $$ Так как $\frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x$, получаем: $$ \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \operatorname{ctg}^2 x $$ Используя формулу связи котангенса и тангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$: $$ \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x} $$ Получили правую часть. Тождество доказано. --- 4) Преобразуем знаменатель левой части тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус: $$ \operatorname{ctg} x + \operatorname{tg} x = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x} $$ Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, то: $$ \operatorname{ctg} x + \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sin x \cos x} $$ Теперь подставим это выражение и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ в левую часть тождества: $$ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} x + \operatorname{tg} x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (\sin x \cos x) $$ Сократим $\sin x$: $$ \cos x \cdot \cos x = \cos^2 x $$ Получили правую часть. Тождество доказано.