ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.84

1) Значение $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим его в выражение: $$ 1 + \sin \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^3 \frac{\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 $$ Вычислим степени: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $$ Сложим полученные слагаемые, приведя их к общему знаменателю $8$: $$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{8} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $$ 2) Значение $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим его в выражение: $$ 1 - \cos \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4} - \cos^3 \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 $$ Вычислим степени: $$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $$ Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые: $$ \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{3}{2} - \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{4} $$ 3) Значение $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим его в выражение: $$ 1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}^3 \frac{\pi}{6} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 $$ Вычислим степени: $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \left(1 + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}\right) = \frac{4}{3} - \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{9} = \frac{4}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{9} = \frac{12 - 4\sqrt{3}}{9} $$ 4) Значение $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим его в выражение: $$ 1 + \cos \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{6} + \cos^3 \frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 $$ Вычислим степени: $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $$ $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \left(1 + \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{7}{4} + \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{8} = \frac{7}{4} + \frac{7\sqrt{3}}{8} = \frac{14 + 7\sqrt{3}}{8} $$ Ответ: 1) $\frac{15}{8}$ (или $1\frac{7}{8}$); 2) $\frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$; 3) $\frac{12 - 4\sqrt{3}}{9}$; 4) $\frac{14 + 7\sqrt{3}}{8}$.