ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.87

1) Из уравнений системы выразим $\cos t$ и $\sin t$: $$ \cos t = \frac{x}{5}, \quad \sin t = \frac{y}{5} $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$: $$ \left(\frac{x}{5}\right)^2 + \left(\frac{y}{5}\right)^2 = 1 $$ $$ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $25$: $$ x^2 + y^2 = 25 $$ Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R = 5$. **Ответ:** $x^2 + y^2 = 25$ --- 2) Из уравнений системы выразим $\cos t$ и $\sin t$: $$ \cos t = \frac{x}{3}, \quad \sin t = \frac{y}{5} $$ Подставим полученные выражения в основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$: $$ \left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{5}\right)^2 = 1 $$ $$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1 $$ (или в виде $25x^2 + 9y^2 = 225$). Полученное уравнение задает эллипс. **Ответ:** $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ --- 3) Возведём обе части первого уравнения в квадрат: $$ x^2 = (\sin t + \cos t)^2 $$ Применим формулу квадрата суммы: $$ x^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t $$ Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем: $$ x^2 = 1 + 2 \sin t \cos t $$ Из второго уравнения системы известно, что $\sin t \cos t = y$. Подставим $y$ вместо произведения: $$ x^2 = 1 + 2y $$ Выразим $y$ через $x$: $$ 2y = x^2 - 1 $$ $$ y = \frac{x^2 - 1}{2} $$ *(Замечание: так как $x = \sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$, значения переменной $x$ ограничены отрезком $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $y \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$).* **Ответ:** $y = \frac{x^2 - 1}{2}$ (или $x^2 - 2y = 1$) при $|x| \le \sqrt{2}$