ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.86

1) Упростим выражение: $$\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{tg}\left(\pi - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\sin(\pi - \alpha)$$ Применим формулы приведения к каждому множителю: * $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}\,\alpha$ (IV четверть, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию); * $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен, функция не меняется); * $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию); * $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (II четверть, синус положителен, функция не меняется). Подставим полученные значения в исходное выражение: $$(-\text{ctg}\,\alpha) \cdot (-\text{tg}\,\alpha) + (-\sin\alpha) \cdot \sin\alpha = \text{ctg}\,\alpha \cdot \text{tg}\,\alpha - \sin^2\alpha$$ Так как $\text{ctg}\,\alpha \cdot \text{tg}\,\alpha = 1$, получаем: $$1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$$ Ответ: $\cos^2\alpha$. --- 2) Упростим выражение: $$\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{ctg}\left(\pi - \alpha\right) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\text{tg}\left(2\pi - \alpha\right)$$ Применим формулы приведения: * $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg}\,\alpha$; * $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}\,\alpha$; * $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg}\,\alpha$; * $\text{tg}(2\pi - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha$. Подставим их в выражение: $$(-\text{tg}\,\alpha) \cdot (-\text{ctg}\,\alpha) + (-\text{tg}\,\alpha) \cdot (-\text{tg}\,\alpha) = \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha + \text{tg}^2\alpha$$ Используя тождества $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$ и $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, получаем: $$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ Ответ: $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ (или $1 + \text{tg}^2\alpha$). --- 3) Упростим выражение: $$(\text{ctg}(6,5\pi - \alpha)\cos(-\alpha) + \cos(\pi - \alpha))^2 + 2\sin^2(\pi - \alpha)\text{ctg}(\alpha - \pi)$$ Применим свойства тригонометрических функций и формулы приведения: * $\text{ctg}(6,5\pi - \alpha) = \text{ctg}\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}\,\alpha$; * $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (в силу четности косинуса); * $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$; * $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha \implies \sin^2(\pi - \alpha) = \sin^2\alpha$; * $\text{ctg}(\alpha - \pi) = -\text{ctg}(\pi - \alpha) = -(-\text{ctg}\,\alpha) = \text{ctg}\,\alpha$ (в силу периодичности котангенса с периодом $\pi$). Преобразуем выражение внутри скобок: $$\text{tg}\,\alpha \cdot \cos\alpha + (-\cos\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha - \cos\alpha = \sin\alpha - \cos\alpha$$ Возведем полученную разность в квадрат: $$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$$ Преобразуем второе слагаемое: $$2\sin^2\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 2\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ Сложим обе части: $$1 - 2\sin\alpha\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1$$ Ответ: $1$. --- 4) В условии под $\cos(2,5 - \alpha)$ подразумевается $\cos(2,5\pi - \alpha)$. Упростим выражение: $$\left(\cos(2,5\pi - \alpha)\text{tg}(3\pi + \alpha) + \sin(-\alpha)\text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right)\right)^2 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$$ Используем формулы приведения и периодичность функций: * $\cos(2,5\pi - \alpha) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$; * $\text{tg}(3\pi + \alpha) = \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\,\alpha$; * $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$; * $\text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right) = \text{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}\,\alpha$; * $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}\,\alpha$. Преобразуем выражение в скобках: $$\sin\alpha \cdot \text{tg}\,\alpha + (-\sin\alpha) \cdot (-\text{ctg}\,\alpha) = \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \cos\alpha$$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha}$$ Возведем результат в квадрат: $$\left(\frac{1}{\cos\alpha}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ Преобразуем второе слагаемое исходного выражения: $$\text{tg}\,\alpha \cdot \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \text{tg}\,\alpha \cdot (-\text{ctg}\,\alpha) = -1$$ Сложим полученные части: $$\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = (1 + \text{tg}^2\alpha) - 1 = \text{tg}^2\alpha$$ Ответ: $\text{tg}^2\alpha$.