ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.83

**1)** Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$: $$ 1 - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 1 - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha $$ Так как для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство $0 \le \sin^2\alpha \le 1$, умножим все части неравенства на $2$: $$ 0 \le 2\sin^2\alpha \le 2 $$ Наибольшее значение выражения равно $2$ (достигается, например, при $\alpha = \frac{\pi}{2}$). Ответ: 2. --- **2)** Выражение определено при $\cos\alpha \neq 0$. Заменим $\tan\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$ 1 - \sin\alpha \cos\alpha \tan\alpha = 1 - \sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1 - \sin^2\alpha $$ По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$. Так как $\cos\alpha \neq 0$, значения $\cos^2\alpha$ лежат в полуинтервале $(0; 1]$. Значение $1$ достигается при $\cos\alpha = \pm 1$ (в этих точках $\tan\alpha = 0$, то есть выражение имеет смысл). Следовательно, наибольшее значение выражения равно $1$. Ответ: 1. --- **3)** Выражение определено при $\cos\alpha \neq 0$. Применим формулу $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$ \cos^2\alpha \tg^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 5\cos^2\alpha - 1 = \sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 1 $$ Выразим $\sin^2\alpha$ через косинус: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$: $$ (1 - \cos^2\alpha) + 5\cos^2\alpha - 1 = 4\cos^2\alpha $$ Так как $\cos\alpha \neq 0$, то $0 < \cos^2\alpha \le 1$. Умножим неравенство на $4$: $$ 0 < 4\cos^2\alpha \le 4 $$ Значение $4$ достигается при $\cos^2\alpha = 1$ (то есть при $\cos\alpha = \pm 1$, когда тангенс существует и равен $0$). Наибольшее значение выражения равно $4$. Ответ: 4. --- **4)** Вынесем общий множитель $3$ за скобки в сумме квадратов: $$ \sin\alpha + 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = \sin\alpha + 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $$ \sin\alpha + 3 \cdot 1 = \sin\alpha + 3 $$ Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, прибавим $3$ ко всем частям неравенства: $$ -1 + 3 \le \sin\alpha + 3 \le 1 + 3 $$ $$ 2 \le \sin\alpha + 3 \le 4 $$ Наибольшее значение выражения равно $4$ (достигается при $\sin\alpha = 1$). Ответ: 4.