ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.81

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = 1 $$ Преобразуем знаменатель левой части тождества, раскрыв квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, сгруппируем слагаемые: $$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha $$ Подставим полученное выражение в знаменатель левой части: $$ \frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha} = 1 $$ Получили $1 = 1$. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + 1}{\sin^2\alpha} = 2 $$ Преобразуем числитель левой части. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$: $$ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + 1 = \sin^2\alpha + (1 - \cos^2\alpha) = \sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha $$ Подставим результат в дробь: $$ \frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2 $$ Получили $2 = 2$. Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ (2 - \sin\alpha)(2 + \sin\alpha) + (2 - \cos\alpha)(2 + \cos\alpha) = 7 $$ Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к обеим скобкам в левой части: $$ (2 - \sin\alpha)(2 + \sin\alpha) = 2^2 - \sin^2\alpha = 4 - \sin^2\alpha $$ $$ (2 - \cos\alpha)(2 + \cos\alpha) = 2^2 - \cos^2\alpha = 4 - \cos^2\alpha $$ Сложим полученные выражения: $$ (4 - \sin^2\alpha) + (4 - \cos^2\alpha) = 8 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $$ Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, имеем: $$ 8 - 1 = 7 $$ Получили $7 = 7$. Тождество доказано. --- **4)** Докажем тождество: $$ \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha $$ Разложим левую часть как разность квадратов: $$ \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, подставим это значение: $$ (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1 = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha $$ Получили $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$. Тождество доказано.