ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.80

1) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $$ Приведем подобные слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $$ = 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 2 \cdot 1 = 2 $$ Значение выражения равно $2$ и не зависит от $\alpha$. 2) Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения: $$ (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)^2 - (\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{ctg}\alpha)^2 = (\operatorname{tg}^2\alpha + 2\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha) - (\operatorname{tg}^2\alpha - 2\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha) $$ Раскроем внешние скобки и учтем тождество $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$: $$ = \operatorname{tg}^2\alpha + 2\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha + 2\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^2\alpha = 4\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 4 \cdot 1 = 4 $$ Значение выражения равно $4$ и не зависит от $\alpha$. 3) Применим формулы связи тригонометрических функций одного и того же аргумента: $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$: $$ \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $$ Значение выражения равно $1$ и не зависит от $\alpha$. 4) Выполним умножение дробей, используя в числителе формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{1 + \sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{(1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}{\cos^2\alpha} = \frac{1 - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $$ Так как из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем: $$ = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 1 $$ Значение выражения равно $1$ и не зависит от $\alpha$. 5) Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общий множитель $3$ за скобки в знаменателе: $$ \frac{2 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha} = \frac{2 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)} $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, подставим это значение: $$ = \frac{2 - 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} $$ Значение выражения равно $\frac{1}{3}$ и не зависит от $\alpha$. 6) Разложим числитель дроби на множители по формуле разности квадратов: $$ \frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} $$ Сократим дробь на общий множитель $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \neq 0$: $$ = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$ Значение выражения равно $1$ и не зависит от $\alpha$.