ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.79

1) Используем свойство нечётности тангенса $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$ и определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ \operatorname{tg}(-\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha = -\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha + \sin \alpha = -\sin \alpha + \sin \alpha = 0 $$ 2) Так как $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$, то $\operatorname{tg}^2(-\alpha) = (-\operatorname{tg} \alpha)^2 = \operatorname{tg}^2 \alpha$. Применяем формулу $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \cos^2 \alpha \operatorname{tg}^2(-\alpha) - 1 = \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 = \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha $$ 3) Используем нечётность котангенса $\operatorname{ctg}(-\beta) = -\operatorname{ctg} \beta$ и определение $\operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$: $$ \frac{\operatorname{ctg}(-\beta) \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\operatorname{ctg} \beta \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\cos \beta}{\cos \beta} = -1 $$ 4) Используем свойства $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $\cos(-x) = \cos x$: $$ \frac{1 - \operatorname{tg}(-x)}{\sin x + \cos(-x)} = \frac{1 - (-\operatorname{tg} x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} = \frac{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x (\sin x + \cos x)} = \frac{1}{\cos x} $$ 5) Используем нечётность синуса $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$, чётность косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ и формулу $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ \operatorname{ctg} \alpha \sin(-\alpha) - \cos(-\alpha) = \operatorname{ctg} \alpha \cdot (-\sin \alpha) - \cos \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha - \cos \alpha = -\cos \alpha - \cos \alpha = -2\cos \alpha $$ 6) Так как $\operatorname{tg}(-u) = -\operatorname{tg} u$, а произведение тангенса и котангенса одного аргумента равно единице ($\operatorname{tg} u \operatorname{ctg} u = 1$): $$ \operatorname{tg}(-u) \operatorname{ctg} u + \sin^2 u = -\operatorname{tg} u \operatorname{ctg} u + \sin^2 u = -1 + \sin^2 u = -(1 - \sin^2 u) = -\cos^2 u $$ 7) Так как $\sin(-y) = -\sin y$, то $\sin^2(-y) = (-\sin y)^2 = \sin^2 y$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 y = \cos^2 y$: $$ \frac{1 - \sin^2(-y)}{\cos y} = \frac{1 - \sin^2 y}{\cos y} = \frac{\cos^2 y}{\cos y} = \cos y $$ 8) Используем формулу $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и связь $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$: $$ \frac{\operatorname{tg}(-x) + 1}{1 - \operatorname{ctg} x} = \frac{-\operatorname{tg} x + 1}{1 - \frac{1}{\operatorname{tg} x}} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{\frac{\operatorname{tg} x - 1}{\operatorname{tg} x}} = \frac{(1 - \operatorname{tg} x) \cdot \operatorname{tg} x}{- (1 - \operatorname{tg} x)} = -\operatorname{tg} x $$ Ответ: 1) $0$; 2) $-\cos^2 \alpha$; 3) $-1$; 4) $\frac{1}{\cos x}$; 5) $-2\cos \alpha$; 6) $-\cos^2 u$; 7) $\cos y$; 8) $-\operatorname{tg} x$.