ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.33

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Преобразуем левую часть тождества. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $(1 + \cos \alpha)$: $$ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} $$ Применим в знаменателе формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha} $$ По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, откуда $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в знаменатель: $$ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} $$ Сократим дробь на $\sin \alpha$: $$ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Левая часть равна правой части: $$ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha - 1} = 1 $$ Преобразуем левую часть тождества. Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ для числителя и знаменателя. Преобразуем числитель: $$ 1 - 2\sin^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$ Преобразуем знаменатель: $$ 2\cos^2 \alpha - 1 = 2\cos^2 \alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha - 1} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = 1 $$ Левая часть равна правой части: $$ 1 = 1 $$ Тождество доказано.