ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.32

Дано выражение: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + 4\cos x + 2\cos\left(x + \frac{3\pi}{4}\right) $$ ### 1) При $x = \frac{\pi}{4}$ Подставим значение $x = \frac{\pi}{4}$ в аргументы тригонометрических функций: $$ \frac{\pi}{4} + x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$ $$ \frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0 $$ $$ x + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi $$ Подставим полученные углы в исходное выражение: $$ \sin\frac{\pi}{2} + 2\sin 0 + 4\cos\frac{\pi}{4} + 2\cos\pi $$ Используем табличные значения тригонометрических функций: * $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ * $\sin 0 = 0$ * $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\cos\pi = -1$ Вычислим значение: $$ 1 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot (-1) = 1 + 0 + 2\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2} - 1 $$ **Ответ:** $2\sqrt{2} - 1$ --- ### 2) При $x = \frac{3\pi}{4}$ Подставим значение $x = \frac{3\pi}{4}$ в аргументы тригонометрических функций: $$ \frac{\pi}{4} + x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi $$ $$ \frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} $$ $$ x + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} $$ Подставим полученные углы в исходное выражение: $$ \sin\pi + 2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos\frac{3\pi}{4} + 2\cos\frac{3\pi}{2} $$ Используем табличные значения тригонометрических функций и свойство нечётности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$: * $\sin\pi = 0$ * $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$ * $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ Вычислим значение: $$ 0 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \cdot 0 = -2 - 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2} - 2 $$ **Ответ:** $-2\sqrt{2} - 2$