ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.35

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{\sin^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} + \frac{\sin \gamma + \cos \gamma}{1 - \operatorname{tg}^2 \gamma} = \sin \gamma + \cos \gamma $$ Преобразуем вторую дробь в левой части, выразив тангенс через синус и косинус: $$ 1 - \operatorname{tg}^2 \gamma = 1 - \frac{\sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma} = \frac{\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma} $$ Тогда вторая дробь принимает вид: $$ \frac{\sin \gamma + \cos \gamma}{1 - \operatorname{tg}^2 \gamma} = \frac{\sin \gamma + \cos \gamma}{\frac{\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma}} = \frac{(\sin \gamma + \cos \gamma)\cos^2 \gamma}{\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma} $$ Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $$ \frac{(\sin \gamma + \cos \gamma)\cos^2 \gamma}{(\cos \gamma - \sin \gamma)(\cos \gamma + \sin \gamma)} = \frac{\cos^2 \gamma}{\cos \gamma - \sin \gamma} = -\frac{\cos^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} $$ Сложим обе дроби: $$ \frac{\sin^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} - \frac{\cos^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} = \frac{\sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь: $$ \frac{(\sin \gamma - \cos \gamma)(\sin \gamma + \cos \gamma)}{\sin \gamma - \cos \gamma} = \sin \gamma + \cos \gamma $$ Получили $\sin \gamma + \cos \gamma = \sin \gamma + \cos \gamma$. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{1 - 4 \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi}{\left( \sin \varphi + \cos \varphi \right)^2} = 1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi $$ Преобразуем числитель левой части как разность квадратов: $$ 1 - 4 \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi = 1^2 - (2 \sin \varphi \cos \varphi)^2 = (1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi)(1 + 2 \sin \varphi \cos \varphi) $$ Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$: $$ (\sin \varphi + \cos \varphi)^2 = \sin^2 \varphi + 2 \sin \varphi \cos \varphi + \cos^2 \varphi = 1 + 2 \sin \varphi \cos \varphi $$ Подставим полученные выражения в левую часть тождества: $$ \frac{(1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi)(1 + 2 \sin \varphi \cos \varphi)}{1 + 2 \sin \varphi \cos \varphi} $$ Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2 \sin \varphi \cos \varphi)$: $$ 1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi $$ Получили $1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi = 1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi$. Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ \frac{\operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{ctg}^2 \beta + \operatorname{ctg} \beta + 1} = \operatorname{tg}^2 \beta $$ Используем соотношение между тангенсом и котангенсом $\operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \beta}$. Преобразуем знаменатель левой части: $$ \operatorname{ctg}^2 \beta + \operatorname{ctg} \beta + 1 = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 \beta} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} + 1 = \frac{1 + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg}^2 \beta}{\operatorname{tg}^2 \beta} $$ Подставим результат в исходную дробь: $$ \frac{\operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg} \beta + 1}{\frac{\operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg} \beta + 1}{\operatorname{tg}^2 \beta}} = (\operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg} \beta + 1) \cdot \frac{\operatorname{tg}^2 \beta}{\operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg} \beta + 1} = \operatorname{tg}^2 \beta $$ Получили $\operatorname{tg}^2 \beta = \operatorname{tg}^2 \beta$. Тождество доказано.