ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.31

Найдем значение тригонометрического выражения $\sin^2\alpha - \cos\alpha + \sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha$ для каждого из заданных значений угла. 1) При $\alpha = \frac{4\pi}{3}$: Определим значения тригонометрических функций для угла $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ (угол лежит в III четверти): $$ \sin\frac{4\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \cos\frac{4\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$ $$ \operatorname{tg}\frac{4\pi}{3} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$ Подставим полученные значения в исходное выражение: $$ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + 3 = 3\frac{5}{4} = 4\frac{1}{4} = 4{,}25 $$ 2) При $\alpha = \frac{5\pi}{3}$: Определим значения тригонометрических функций для угла $\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$ (угол лежит в IV четверти): $$ \sin\frac{5\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \cos\frac{5\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ $$ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{3} = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $$ Подставим полученные значения в выражение: $$ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} - 3 = \frac{1}{4} - 3 = -2\frac{3}{4} = -2{,}75 $$ 3) При $\alpha = \frac{5\pi}{4}$: Определим значения тригонометрических функций для угла $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ (угол лежит в III четверти): $$ \sin\frac{5\pi}{4} = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \cos\frac{5\pi}{4} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $$ Подставим полученные значения в выражение: $$ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1 + \sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2} $$ 4) При $\alpha = \frac{7\pi}{4}$: Определим значения тригонометрических функций для угла $\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ (угол лежит в IV четверти): $$ \sin\frac{7\pi}{4} = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \cos\frac{7\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1 $$ Подставим полученные значения в выражение: $$ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot (-1) = \frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{1 - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: 1) $4{,}25$ (или $\frac{17}{4}$); 2) $-2{,}75$ (или $-\frac{11}{4}$); 3) $\frac{1 + \sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2}$; 4) $\frac{1 - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2}$.