ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.30

1) Упростим выражение $(1 + \mathrm{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha$. Используем формулу связи тангенса и косинуса $1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: $$ (1 + \mathrm{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 1 $$ 2) Упростим выражение $\frac{\mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta}{\mathrm{ctg}\alpha + \mathrm{ctg}\beta}$. Выразим котангенсы через тангенсы, используя тождество $\mathrm{ctg}\,x = \frac{1}{\mathrm{tg}\,x}$: $$ \mathrm{ctg}\alpha + \mathrm{ctg}\beta = \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha} + \frac{1}{\mathrm{tg}\beta} = \frac{\mathrm{tg}\beta + \mathrm{tg}\alpha}{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta} $$ Подставим полученное выражение в знаменатель дроби: $$ \frac{\mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta}{\mathrm{ctg}\alpha + \mathrm{ctg}\beta} = \frac{\mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta}{\frac{\mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta}{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta}} = (\mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta) \cdot \frac{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta}{\mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta} = \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta $$ 3) Упростим выражение $\frac{\cos^2\alpha - \mathrm{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \mathrm{tg}^2\alpha}$. Преобразуем числитель дроби, учитывая, что $\mathrm{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$: $$ \cos^2\alpha - \mathrm{ctg}^2\alpha = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{\sin^2\alpha} = -\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} $$ Преобразуем знаменатель дроби, учитывая, что $\mathrm{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$: $$ \sin^2\alpha - \mathrm{tg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1)}{\cos^2\alpha} = -\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\cos^2\alpha - \mathrm{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \mathrm{tg}^2\alpha} = \frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = \mathrm{ctg}^6\alpha $$ **Ответ:** 1) $1$; 2) $\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta$; 3) $\mathrm{ctg}^6\alpha$.