ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.29

1) Найдем значения входящих в выражение тригонометрических функций: $\sin \frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\cos \frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\tan \frac{3\pi}{4} = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \frac{\pi}{4} = -1$; $\cot \frac{3\pi}{4} = \cot\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cot \frac{\pi}{4} = -1$. Подставим полученные значения в исходное выражение: $$ \sin \frac{3\pi}{4} \cos \frac{3\pi}{4} - \tan \frac{3\pi}{4} + 1,5 \cot \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (-1) + 1,5 \cdot (-1) $$ $$ = -\frac{2}{4} + 1 - 1,5 = -0,5 + 1 - 1,5 = -1 $$ Ответ: $-1$. --- 2) Найдем значения тригонометрических функций для угла $\frac{2\pi}{3}$: $\tan \frac{2\pi}{3} = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$; $\cot \frac{2\pi}{3} = \cot\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\sin \frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. Возведем значения в квадраты: $\tan^2 \frac{2\pi}{3} = (-\sqrt{3})^2 = 3$; $\cot^2 \frac{2\pi}{3} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$; $\sin^2 \frac{2\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$; $\cos^2 \frac{2\pi}{3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Подставим эти значения в выражение: $$ \tan^2 \frac{2\pi}{3} - \cot^2 \frac{2\pi}{3} - \frac{10}{3} \sin^2 \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3} = 3 - \frac{1}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4} $$ $$ = 3 - \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} = \frac{8}{3} - \frac{10}{4} + \frac{1}{4} = \frac{8}{3} - \frac{9}{4} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $12$: $$ \frac{8 \cdot 4 - 9 \cdot 3}{12} = \frac{32 - 27}{12} = \frac{5}{12} $$ Ответ: $\frac{5}{12}$. --- 3) Найдем значения тригонометрических функций для угла $\frac{5\pi}{6}$: $\cos \frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\sin \frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$; $\tan \frac{5\pi}{6} = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, отсюда $\tan^2 \frac{5\pi}{6} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Подставим значения в выражение: $$ 4 \cos \frac{5\pi}{6} \sin \frac{5\pi}{6} + 3 \tan^2 \frac{5\pi}{6} = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3} $$ $$ = -\sqrt{3} + 1 = 1 - \sqrt{3} $$ Ответ: $1 - \sqrt{3}$. --- 4) Найдем значения тригонометрических функций: $\tan \frac{3\pi}{4} = -1$; $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$; $\cot \frac{3\pi}{2} = \frac{\cos \frac{3\pi}{2}}{\sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0$; $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим найденные значения в выражение: $$ \tan \frac{3\pi}{4} \sin \frac{3\pi}{2} - \cot \frac{3\pi}{2} \cos \frac{\pi}{6} = (-1) \cdot (-1) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 0 = 1 $$ Ответ: $1$.