ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.27

1) Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки: $$ \sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ Ответ: $1$. 2) Разложим разность четвертых степеней $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ по формуле разности квадратов, а у оставшихся слагаемых вынесем знак «минус» за скобки: $$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0 $$ Ответ: $0$. 3) Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ выразим знаменатель: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Подставим это выражение в дробь: $$ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 $$ (при условии $\cos \alpha \neq 0$). Ответ: $1$. 4) Заменим единицу в числителе и знаменателе на сумму $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$: $$ \frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha - 1} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе и знаменателе: $$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = 1 $$ (при условии $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \neq 0$). Ответ: $1$.