ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.26

Пусть выбрано значение $m = \frac{1}{2}$. Данное число удовлетворяет условию $-1 < m < 1$. ### 1) Построение угла $\varphi$, удовлетворяющего равенству $\sin \varphi = \frac{1}{2}$ По определению, синус угла поворота равен ординате $y$ точки единичной окружности. **План построения:** 1. Построим единичную окружность с центром в начале координат $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$ в декартовой системе координат $xOy$. 2. На оси ординат $Oy$ отметим точку с координатой $y = \frac{1}{2}$. 3. Через эту точку проведём прямую, параллельную оси абсцисс ($y = \frac{1}{2}$). 4. Прямая пересечёт единичную окружность в двух точках: $P_1$ (в I четверти) и $P_2$ (во II четверти). 5. Соединим точки $P_1$ и $P_2$ с началом координат $O$. Лучи $OP_1$ и $OP_2$ образуют с положительным направлением оси $Ox$ углы $\varphi_1 = 30^\circ$ ($\frac{\pi}{6}$ рад) и $\varphi_2 = 150^\circ$ ($\frac{5\pi}{6}$ рад), для каждого из которых $\sin \varphi = \frac{1}{2}$. --- ### 2) Построение угла $\varphi$, удовлетворяющего равенству $\cos \varphi = \frac{1}{2}$ По определению, косинус угла поворота равен абсциссе $x$ точки единичной окружности. **План построения:** 1. Построим единичную окружность с центром в начале координат $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$. 2. На оси абсцисс $Ox$ отметим точку с координатой $x = \frac{1}{2}$. 3. Через эту точку проведём прямую, параллельную оси ординат ($x = \frac{1}{2}$). 4. Прямая пересечёт единичную окружность в двух точках: $Q_1$ (в I четверти) и $Q_2$ (в IV четверти). 5. Соединим точки $Q_1$ и $Q_2$ с началом координат $O$. Лучи $OQ_1$ и $OQ_2$ образуют с положительным направлением оси $Ox$ углы $\varphi_1 = 60^\circ$ ($\frac{\pi}{3}$ рад) и $\varphi_2 = -60^\circ$ (или $300^\circ$, $\frac{5\pi}{3}$ рад), для каждого из которых $\cos \varphi = \frac{1}{2}$. --- ### Ответ на вопрос: «Сколько таких углов существует? Обоснуйте ответ» 1. **В пределах одного полного оборота** (на промежутке $[0; 2\pi)$ или $[0^\circ; 360^\circ)$): Так как прямая $y = m$ (для синуса) или $x = m$ (для косинуса) при условии $-1 < m < 1$ пересекает единичную окружность ровно в двух различных точках, существует **2 угла**. 2. **На всём множестве действительных чисел**: Так как функции $\sin \varphi$ и $\cos \varphi$ являются периодическими с периодом $2\pi$ ($360^\circ$), к каждому из найденных углов можно прибавлять любое целое число полных оборотов: $$\varphi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Следовательно, всего таких углов существует **бесконечно много**.