ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.25

1) Вынесем знак минус за скобки и применим тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$: $$ \sin^2\alpha - 1 = -(1 - \sin^2\alpha) = -\cos^2\alpha $$ 2) Свернем выражение по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, где $a = \sin^2\alpha$, а $b = \cos^2\alpha$: $$ \sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 = 1 $$ 3) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (2\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 + 1 + 0 = 2 $$ 4) Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2\alpha$: $$ \cos^2\alpha - \cos^4\alpha + \sin^4\alpha = \cos^2\alpha(1 - \cos^2\alpha) + \sin^4\alpha $$ Используя тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, подставим его в выражение: $$ = \cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha + \sin^4\alpha $$ Вынесем общий множитель $\sin^2\alpha$: $$ = \sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha \cdot 1 = \sin^2\alpha $$ **Ответ:** 1) $-\cos^2\alpha$; 2) $1$; 3) $2$; 4) $\sin^2\alpha$.