ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.23

Для любого угла $\alpha$ косинус принимает значения из отрезка $[-1; 1]$, то есть выполняется неравенство: $$ -1 \le \cos \alpha \le 1 $$ Следовательно, угол $\alpha$ существует тогда и только тогда, когда заданное значение принадлежит промежутку $[-1; 1]$. 1) $\cos \alpha = \sqrt{2}$ Так как $2 > 1$, то $\sqrt{2} > 1$ ($\sqrt{2} \approx 1,41$). Значение $\sqrt{2} > 1$, следовательно, оно не удовлетворяет условию $-1 \le \cos \alpha \le 1$. Такой угол $\alpha$ не существует. 2) $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Так как $\sqrt{2} > 1$, то: $$ 0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 $$ Значение $\frac{1}{\sqrt{2}}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$ (например, при $\alpha = 45^\circ$). Такой угол $\alpha$ существует. 3) $\cos \alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ Так как $\sqrt{3} > 1$ ($\sqrt{3} \approx 1,73$), то: $$ 1 + \sqrt{3} > 1 + 1 = 2 $$ Разделим обе части неравенства на $2$: $$ \frac{1 + \sqrt{3}}{2} > \frac{2}{2} = 1 $$ Значение превосходит $1$, следовательно, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Такой угол $\alpha$ не существует. 4) $\cos \alpha = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ Оценим значение выражения, учитывая, что $1 < \sqrt{3} < 2$: $$ -2 < -\sqrt{3} < -1 $$ Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $$ -1 < 1 - \sqrt{3} < 0 $$ Разделим на $2$: $$ -0,5 < \frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0 $$ Так как $-1 \le -0,5 < \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \le 1$, данное значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Такой угол $\alpha$ существует. **Ответ:** 1) не существует; 2) существует; 3) не существует; 4) существует.