ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.158

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{3 - 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1$ к числителю и знаменателю левой части: Преобразуем числитель: $$ 3 - 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 - 4\cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha - 1 = 2 - 4\cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha $$ Вынесем общий множитель $2$ и свернем выражение по формуле квадрата разности: $$ 2(1 - 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha) = 2(1 - \cos 2\alpha)^2 $$ Используя формулу $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$, получаем: $$ 2 \cdot (2\sin^2 \alpha)^2 = 2 \cdot 4\sin^4 \alpha = 8\sin^4 \alpha $$ Преобразуем знаменатель: $$ 3 + 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 + 4\cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha - 1 = 2 + 4\cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha $$ Вынесем общий множитель $2$ и свернем выражение по формуле квадрата суммы: $$ 2(1 + 2\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha) = 2(1 + \cos 2\alpha)^2 $$ Используя формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$, получаем: $$ 2 \cdot (2\cos^2 \alpha)^2 = 2 \cdot 4\cos^4 \alpha = 8\cos^4 \alpha $$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{8\sin^4 \alpha}{8\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha $$ Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = \frac{5 + 3\cos 4\alpha}{8} $$ Преобразуем левую часть как сумму кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \cos^2 \alpha$, $b = \sin^2 \alpha$: $$ \cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)(\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha) $$ Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, а $\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha = 1 - 2\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$, получаем: $$ 1 \cdot (1 - 2\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$: $$ 1 - 3\left(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)^2 = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2\alpha $$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}$: $$ 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \frac{3(1 - \cos 4\alpha)}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos 4\alpha}{8} = \frac{5 + 3\cos 4\alpha}{8} $$ Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ 16\sin^5 \alpha - 20\sin^3 \alpha + 5\sin \alpha = \sin 5\alpha $$ Преобразуем правую часть тождества, представив аргумент как $5\alpha = 3\alpha + 2\alpha$: $$ \sin 5\alpha = \sin(3\alpha + 2\alpha) = \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha \sin 2\alpha $$ Используем известные формулы тройного и двойного углов: * $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ * $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ * $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ * $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ Подставим их: $$ \sin 5\alpha = (3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)(1 - 2\sin^2 \alpha) + (4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha)(2\sin \alpha \cos \alpha) $$ Раскроем первые скобки: $$ (3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)(1 - 2\sin^2 \alpha) = 3\sin \alpha - 6\sin^3 \alpha - 4\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha = 3\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha $$ Преобразуем второе слагаемое, выразив $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ (4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha)(2\sin \alpha \cos \alpha) = 2\sin \alpha \cos^2 \alpha (4\cos^2 \alpha - 3) $$ $$ = 2\sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha)(4(1 - \sin^2 \alpha) - 3) = 2\sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha)(1 - 4\sin^2 \alpha) $$ $$ = 2\sin \alpha (1 - 5\sin^2 \alpha + 4\sin^4 \alpha) = 2\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha $$ Сложим полученные выражения: $$ \sin 5\alpha = (3\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha) + (2\sin \alpha - 10\sin^3 \alpha + 8\sin^5 \alpha) $$ $$ \sin 5\alpha = 16\sin^5 \alpha - 20\sin^3 \alpha + 5\sin \alpha $$ Получили левую часть. Тождество доказано. --- **4)** Докажем тождество: $$ \cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha = 0,25 \cos 2\alpha (3 + \cos 4\alpha) $$ Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $$ \cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha = (\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) $$ Преобразуем первый множитель: $$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha $$ Преобразуем второй множитель: $$ \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha $$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}$: $$ 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \frac{1 - \cos 4\alpha}{4} = \frac{4 - 1 + \cos 4\alpha}{4} = \frac{3 + \cos 4\alpha}{4} = 0,25(3 + \cos 4\alpha) $$ Перемножим полученные множители: $$ \cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha = \cos 2\alpha \cdot 0,25(3 + \cos 4\alpha) = 0,25\cos 2\alpha(3 + \cos 4\alpha) $$ Тождество доказано.