ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.156

1) Применим формулу суммы тангенсов $\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$: $$ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\sin 2x}{\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} $$ Преобразуем произведение косинусов в знаменателе в сумму по формуле $\cos\alpha \cos\beta = \dfrac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$: $$ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos 2x + \cos\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}(\cos 2x + 0) = \frac{1}{2}\cos 2x $$ Подставим полученный знаменатель: $$ \frac{\sin 2x}{\frac{1}{2}\cos 2x} = \frac{2\sin 2x}{\cos 2x} = 2\text{tg} 2x $$ Ответ: $2\text{tg} 2x$ (или $\dfrac{2\sin 2x}{\cos 2x}$). --- 2) Выразим тангенс через синус и косинус: $\text{tg}\,\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$: $$ \cos 2\varphi + \sin 2\varphi \cdot \text{tg}\,\varphi = \cos 2\varphi + \sin 2\varphi \cdot \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ \frac{\cos 2\varphi \cos\varphi + \sin 2\varphi \sin\varphi}{\cos\varphi} $$ Применим формулу косинуса разности $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha - \beta)$ в числителе: $$ \frac{\cos(2\varphi - \varphi)}{\cos\varphi} = \frac{\cos\varphi}{\cos\varphi} = 1 $$ Ответ: $1$. --- 3) Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $$ 2 + \text{tg} 2\varphi + \text{ctg} 2\varphi = 2 + \frac{\sin 2\varphi}{\cos 2\varphi} + \frac{\cos 2\varphi}{\sin 2\varphi} $$ Приведем к общему знаменателю $\sin 2\varphi \cos 2\varphi$: $$ \frac{2\sin 2\varphi \cos 2\varphi + \sin^2 2\varphi + \cos^2 2\varphi}{\sin 2\varphi \cos 2\varphi} $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 2\varphi + \cos^2 2\varphi = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin 2\varphi \cos 2\varphi = \sin 4\varphi$: $$ \frac{1 + \sin 4\varphi}{\frac{1}{2}\sin 4\varphi} = \frac{2(1 + \sin 4\varphi)}{\sin 4\varphi} $$ Преобразуем выражение $1 + \sin 4\varphi$ в произведение, представив единицу как $\sin\dfrac{\pi}{2}$: $$ 1 + \sin 4\varphi = \sin\frac{\pi}{2} + \sin 4\varphi = 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + 2\varphi\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\varphi\right) = 2\sin^2\left(2\varphi + \frac{\pi}{4}\right) $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ \frac{2 \cdot 2\sin^2\left(2\varphi + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 4\varphi} = \frac{4\sin^2\left(2\varphi + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 4\varphi} $$ Ответ: $\dfrac{4\sin^2\left(2\varphi + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 4\varphi}$ (или $\dfrac{(\sin 2\varphi + \cos 2\varphi)^2}{\sin 2\varphi \cos 2\varphi}$). --- 4) Преобразуем первое слагаемое с синусом, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\varphi = 2\sin\varphi \cos\varphi$: $$ 0{,}25 \sin^2 2\varphi = \frac{1}{4}(2\sin\varphi \cos\varphi)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\sin^2\varphi \cos^2\varphi = \sin^2\varphi \cos^2\varphi $$ Упростим часть выражения $1 - 0{,}25\sin^2 2\varphi$: $$ 1 - \sin^2\varphi \cos^2\varphi = 1 - (1 - \cos^2\varphi)\cos^2\varphi = 1 - \cos^2\varphi + \cos^4\varphi = \sin^2\varphi + \cos^4\varphi $$ Подставим это обратно в выражение: $$ (\sin^2\varphi + \cos^4\varphi) - \cos^2 2\varphi \cos^4\varphi = \sin^2\varphi + \cos^4\varphi(1 - \cos^2 2\varphi) $$ Так как $1 - \cos^2 2\varphi = \sin^2 2\varphi$, получаем: $$ \sin^2\varphi + \cos^4\varphi \sin^2 2\varphi $$ Распишем $\sin^2 2\varphi = 4\sin^2\varphi \cos^2\varphi$: $$ \sin^2\varphi + \cos^4\varphi \cdot 4\sin^2\varphi \cos^2\varphi = \sin^2\varphi + 4\sin^2\varphi \cos^6\varphi $$ Вынесем общий множитель $\sin^2\varphi$ за скобки: $$ \sin^2\varphi(1 + 4\cos^6\varphi) $$ Ответ: $\sin^2\varphi(1 + 4\cos^6\varphi)$.