ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.159

**4.159.** Преобразуем данное выражение: $$ A = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \cos^2(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi \cos(\alpha - \varphi) $$ Сгруппируем два последних слагаемых и вынесем общий множитель $\cos(\alpha - \varphi)$ за скобки: $$ A = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \cos(\alpha - \varphi) \big(\cos(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi\big) $$ Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \varphi) = \cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi$ к выражению в скобках: $$ \cos(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi = \cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi - 2\cos\alpha \cos\varphi = \sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi $$ Вынесем знак «минус» за скобки и применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \varphi) = \cos\alpha \cos\varphi - \sin\alpha \sin\varphi$: $$ \sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi = -(\cos\alpha \cos\varphi - \sin\alpha \sin\varphi) = -\cos(\alpha + \varphi) $$ Подставим полученный результат обратно в выражение: $$ A = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi - \cos(\alpha - \varphi)\cos(\alpha + \varphi) $$ Преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))$: $$ \cos(\alpha - \varphi)\cos(\alpha + \varphi) = \frac{1}{2}\big(\cos((\alpha - \varphi) - (\alpha + \varphi)) + \cos((\alpha - \varphi) + (\alpha + \varphi))\big) $$ $$ \cos(\alpha - \varphi)\cos(\alpha + \varphi) = \frac{1}{2}\big(\cos(-2\varphi) + \cos 2\alpha\big) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\varphi) $$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\varphi) = \frac{1}{2}\big((2\cos^2\alpha - 1) + (2\cos^2\varphi - 1)\big) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha + 2\cos^2\varphi - 2) = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi - 1 $$ Подставим полученное выражение в $A$: $$ A = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi - (\cos^2\alpha + \cos^2\varphi - 1) $$ Раскроем скобки: $$ A = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi - \cos^2\alpha - \cos^2\varphi + 1 = 1 $$ Значение выражения равно $1$ при любых допустимых значениях переменных, следовательно, оно не зависит от $\alpha$ и $\varphi$. Что и требовалось доказать.