ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.155

Так как $A$, $B$ и $C$ — углы треугольника, то их сумма равна $180^\circ$: $$ A + B + C = 180^\circ $$ Отсюда $A + B = 180^\circ - C$, а также $\frac{A + B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$. --- ### 1) Доказать тождество: $\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B + \operatorname{tg} C = \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B \cdot \operatorname{tg} C$ Так как $A + B = 180^\circ - C$, применим функцию тангенса к обеим частям равенства (предполагая, что треугольник не прямоугольный, то есть $\cos A \neq 0$, $\cos B \neq 0$, $\cos C \neq 0$): $$ \operatorname{tg}(A + B) = \operatorname{tg}(180^\circ - C) $$ По формуле тангенса суммы и формуле приведения: $$ \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} = -\operatorname{tg} C $$ Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B)$: $$ \operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B = -\operatorname{tg} C \cdot (1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B) $$ $$ \operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B = -\operatorname{tg} C + \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B \operatorname{tg} C $$ Перенесем $-\operatorname{tg} C$ в левую часть: $$ \operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B + \operatorname{tg} C = \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B \operatorname{tg} C $$ Тождество доказано. --- ### 2) Доказать тождество: $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$ Преобразуем сумму первых двух косинусов по формуле суммы косинусов: $$ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2} $$ Так как $\frac{A + B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$, то по формуле приведения: $$ \cos\frac{A + B}{2} = \cos\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \sin\frac{C}{2} $$ Для $\cos C$ применим формулу косинуса двойного угла: $\cos C = 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}$. Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества: $$ \cos A + \cos B + \cos C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{C}{2} $$ $$ = 1 + 2\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A - B}{2} - \sin\frac{C}{2}\right) $$ Заменим $\sin\frac{C}{2}$ в скобках обратно на $\cos\frac{A + B}{2}$: $$ = 1 + 2\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A - B}{2} - \cos\frac{A + B}{2}\right) $$ Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x + y}{2}\sin\frac{x - y}{2}$: $$ \cos\frac{A - B}{2} - \cos\frac{A + B}{2} = -2\sin\frac{A}{2}\sin\left(-\frac{B}{2}\right) = 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} $$ Тогда получаем: $$ 1 + 2\sin\frac{C}{2} \cdot \left(2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\right) = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$ Тождество доказано. --- ### 3) Доказать тождество: $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C$ Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ для первых двух слагаемых: $$ \cos^2 A + \cos^2 B = \frac{1 + \cos 2A}{2} + \frac{1 + \cos 2B}{2} = 1 + \frac{\cos 2A + \cos 2B}{2} $$ Преобразуем сумму косинусов в произведение: $$ \frac{\cos 2A + \cos 2B}{2} = \frac{2\cos(A + B)\cos(A - B)}{2} = \cos(A + B)\cos(A - B) $$ Так как $A + B = 180^\circ - C$, то $\cos(A + B) = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$. Тогда: $$ \cos^2 A + \cos^2 B = 1 - \cos C\cos(A - B) $$ Подставим это в левую часть исходного равенства: $$ \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - \cos C\cos(A - B) + \cos^2 C $$ Вынесем $-\cos C$ за скобки: $$ = 1 - \cos C\bigl(\cos(A - B) - \cos C\bigr) $$ Поскольку $-\cos C = \cos(A + B)$, получаем: $$ = 1 - \cos C\bigl(\cos(A - B) + \cos(A + B)\bigr) $$ По формуле суммы косинусов $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2\cos A\cos B$: $$ = 1 - \cos C \cdot (2\cos A\cos B) = 1 - 2\cos A\cos B\cos C $$ Тождество доказано. --- ### 4) Доказать тождество: $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) + (1 - \cos^2 C) $$ $$ = 3 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C) $$ Используя результат, доказанный в пункте 3 ($\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2\cos A\cos B\cos C$): $$ = 3 - (1 - 2\cos A\cos B\cos C) = 3 - 1 + 2\cos A\cos B\cos C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C $$ Тождество доказано.