ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.160

Так как $A$, $B$ и $C$ — углы треугольника, то их сумма равна $\pi$ ($180^\circ$): $$ A + B + C = \pi $$ Отсюда $A + B = \pi - C$ и $C = \pi - (A + B)$. **1)** Докажем тождество: $$ \sin 2nA + \sin 2nB + \sin 2nC = (-1)^{n+1} 4 \sin nA \sin nB \sin nC $$ Преобразуем сумму первых двух слагаемых в произведение по формуле суммы синусов: $$ \sin 2nA + \sin 2nB = 2 \sin \frac{2nA + 2nB}{2} \cos \frac{2nA - 2nB}{2} = 2 \sin(n(A + B)) \cos(n(A - B)) $$ Так как $A + B = \pi - C$, выразим $\sin(n(A + B))$ по формулам приведения: $$ \sin(n(A + B)) = \sin(n\pi - nC) = -(-1)^n \sin nC = (-1)^{n+1} \sin nC $$ Для третьего слагаемого применим формулу синуса двойного угла: $$ \sin 2nC = 2 \sin nC \cos nC $$ Подставим полученные выражения в левую часть тождества: $$ \sin 2nA + \sin 2nB + \sin 2nC = 2(-1)^{n+1} \sin nC \cos(n(A - B)) + 2 \sin nC \cos nC $$ Вынесем за скобки общий множитель $2(-1)^{n+1} \sin nC$: $$ 2(-1)^{n+1} \sin nC \left( \cos(n(A - B)) + (-1)^{n+1} \cos nC \right) $$ Преобразуем слагаемое $(-1)^{n+1} \cos nC$, учитывая, что $C = \pi - (A + B)$: $$ \cos nC = \cos(n\pi - n(A + B)) = (-1)^n \cos(n(A + B)) $$ Тогда: $$ (-1)^{n+1} \cos nC = (-1)^{n+1} \cdot (-1)^n \cos(n(A + B)) = (-1)^{2n+1} \cos(n(A + B)) = -\cos(n(A + B)) $$ Подставим это в скобки и применим формулу разности косинусов: $$ \cos(n(A - B)) - \cos(n(A + B)) = 2 \sin \frac{n(A - B) + n(A + B)}{2} \sin \frac{n(A + B) - n(A - B)}{2} = 2 \sin nA \sin nB $$ Окончательно получаем: $$ 2(-1)^{n+1} \sin nC \cdot (2 \sin nA \sin nB) = (-1)^{n+1} 4 \sin nA \sin nB \sin nC $$ Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \sin(2n+1)A + \sin(2n+1)B + \sin(2n+1)C = (-1)^n 4 \cos \frac{2n+1}{2} A \cos \frac{2n+1}{2} B \cos \frac{2n+1}{2} C $$ Для удобства записи введем обозначение $k = \frac{2n+1}{2}$, тогда $2k = 2n + 1$. Требуется доказать, что: $$ \sin 2kA + \sin 2kB + \sin 2kC = (-1)^n 4 \cos kA \cos kB \cos kC $$ Преобразуем сумму первых двух слагаемых: $$ \sin 2kA + \sin 2kB = 2 \sin(k(A + B)) \cos(k(A - B)) $$ Так как $A + B = \pi - C$, найдем аргумент: $$ k(A + B) = k(\pi - C) = \frac{2n+1}{2}\pi - kC = n\pi + \frac{\pi}{2} - kC $$ Применим формулы приведения: $$ \sin(k(A + B)) = \sin\left( n\pi + \frac{\pi}{2} - kC \right) = (-1)^n \sin\left( \frac{\pi}{2} - kC \right) = (-1)^n \cos kC $$ Для третьего слагаемого применим формулу синуса двойного угла: $$ \sin 2kC = 2 \sin kC \cos kC $$ Подставим эти результаты в левую часть: $$ \sin 2kA + \sin 2kB + \sin 2kC = 2(-1)^n \cos kC \cos(k(A - B)) + 2 \sin kC \cos kC $$ Вынесем общий множитель $2(-1)^n \cos kC$: $$ 2(-1)^n \cos kC \left( \cos(k(A - B)) + (-1)^n \sin kC \right) $$ Преобразуем $(-1)^n \sin kC$, используя $C = \pi - (A + B)$: $$ kC = k(\pi - (A + B)) = n\pi + \frac{\pi}{2} - k(A + B) $$ $$ \sin kC = \sin\left( n\pi + \frac{\pi}{2} - k(A + B) \right) = (-1)^n \cos(k(A + B)) $$ Тогда: $$ (-1)^n \sin kC = (-1)^n \cdot (-1)^n \cos(k(A + B)) = (-1)^{2n} \cos(k(A + B)) = \cos(k(A + B)) $$ Подставим это выражение в скобки и применим формулу суммы косинусов: $$ \cos(k(A - B)) + \cos(k(A + B)) = 2 \cos kA \cos kB $$ Собираем все множители: $$ 2(-1)^n \cos kC \cdot (2 \cos kA \cos kB) = (-1)^n 4 \cos kA \cos kB \cos kC $$ Возвращаясь к исходному обозначению $k = \frac{2n+1}{2}$, получаем: $$ (-1)^n 4 \cos \frac{2n+1}{2} A \cos \frac{2n+1}{2} B \cos \frac{2n+1}{2} C $$ Тождество доказано.