ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.161

Упростим данное выражение, используя тригонометрические формулы. 1. Преобразуем числитель: $$ \cot \alpha - \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ По формулам косинуса и синуса двойного угла: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$. Получаем: $$ \cot \alpha - \tan \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$ 2. Преобразуем знаменатель по формуле понижения степени (или косинуса двойного угла): $$ \cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2 2\alpha $$ 3. Подставим полученные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\cot \alpha - \tan \alpha}{\cos 4\alpha + 1} = \frac{\frac{2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}}{2\cos^2 2\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha}{2\sin 2\alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} $$ Используя формулу синуса двойного угла $2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin 4\alpha$, умножим числитель и знаменатель на $2$: $$ \frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{2}{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{2}{\sin 4\alpha} $$ 4. Найдем наименьшее значение полученного выражения при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, то для аргумента $4\alpha$ получаем: $$ 0 < 4\alpha < \pi $$ На интервале $(0; \pi)$ функция синуса принимает положительные значения: $$ 0 < \sin 4\alpha \le 1 $$ Дробь $\frac{2}{\sin 4\alpha}$ принимает наименьшее значение при наибольшем возможном значении знаменателя, то есть при $\sin 4\alpha = 1$: $$ 4\alpha = \frac{\pi}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{8} \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right) $$ При $\sin 4\alpha = 1$ значение выражения равно: $$ \frac{2}{1} = 2 $$ Ответ: 2