ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.157

**1. Доказательство формулы** Распишем косинус суммы и косинус разности двух аргументов: $$ \cos(n+1)x = \cos(nx + x) = \cos nx \cos x - \sin nx \sin x $$ $$ \cos(n-1)x = \cos(nx - x) = \cos nx \cos x + \sin nx \sin x $$ Сложим почленно полученные равенства: $$ \cos(n+1)x + \cos(n-1)x = (\cos nx \cos x - \sin nx \sin x) + (\cos nx \cos x + \sin nx \sin x) $$ $$ \cos(n+1)x + \cos(n-1)x = 2\cos nx \cos x $$ Перенесем слагаемое $\cos(n-1)x$ в правую часть: $$ \cos(n+1)x = 2\cos nx \cos x - \cos(n-1)x $$ Формула доказана. --- **2. Представление $\cos 3x$ в виде многочлена от $\cos x$** Сначала найдем выражение для $\cos 2x$, применив доказанную формулу при $n = 1$: $$ \cos(1+1)x = 2\cos x \cos x - \cos(1-1)x $$ $$ \cos 2x = 2\cos^2 x - \cos 0 $$ Так как $\cos 0 = 1$, получаем: $$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $$ Теперь применим формулу при $n = 2$: $$ \cos(2+1)x = 2\cos 2x \cos x - \cos(2-1)x $$ $$ \cos 3x = 2\cos 2x \cos x - \cos x $$ Подставим полученное выражение для $\cos 2x$: $$ \cos 3x = 2(2\cos^2 x - 1)\cos x - \cos x $$ $$ \cos 3x = (4\cos^2 x - 2)\cos x - \cos x = 4\cos^3 x - 2\cos x - \cos x $$ $$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $$ --- **3. Представление $\cos 4x$ в виде многочлена от $\cos x$** Применим формулу при $n = 3$: $$ \cos(3+1)x = 2\cos 3x \cos x - \cos(3-1)x $$ $$ \cos 4x = 2\cos 3x \cos x - \cos 2x $$ Подставим найденные выражения для $\cos 3x$ и $\cos 2x$: $$ \cos 4x = 2(4\cos^3 x - 3\cos x)\cos x - (2\cos^2 x - 1) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ \cos 4x = 8\cos^4 x - 6\cos^2 x - 2\cos^2 x + 1 $$ $$ \cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 $$ **Ответ:** $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$; $\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$.