ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.154

1) Докажем тождество: $$ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}2\alpha - \operatorname{tg}3\alpha = -\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha \operatorname{tg}3\alpha $$ Представим угол $3\alpha$ как сумму $\alpha + 2\alpha$ и применим формулу тангенса суммы: $$ \operatorname{tg}3\alpha = \operatorname{tg}(\alpha + 2\alpha) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}2\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha} $$ Умножим обе части равенства на $(1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha)$: $$ \operatorname{tg}3\alpha (1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha) = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}2\alpha $$ Раскроем скобки в левой части: $$ \operatorname{tg}3\alpha - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha \operatorname{tg}3\alpha = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}2\alpha $$ Перенесём слагаемые так, чтобы выразить требуемую комбинацию: $$ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}2\alpha - \operatorname{tg}3\alpha = -\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}2\alpha \operatorname{tg}3\alpha $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{1}{\operatorname{tg}3x - \operatorname{tg}x} - \frac{1}{\operatorname{ctg}3x - \operatorname{ctg}x} = \operatorname{ctg}2x $$ Преобразуем знаменатели обеих дробей в левой части: 1) Разность тангенсов: $$ \operatorname{tg}3x - \operatorname{tg}x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x}{\cos 3x \cos x} = \frac{\sin(3x - x)}{\cos 3x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x} $$ Следовательно: $$ \frac{1}{\operatorname{tg}3x - \operatorname{tg}x} = \frac{\cos 3x \cos x}{\sin 2x} $$ 2) Разность котангенсов: $$ \operatorname{ctg}3x - \operatorname{ctg}x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x}{\sin 3x \sin x} = \frac{\sin(x - 3x)}{\sin 3x \sin x} = \frac{-\sin 2x}{\sin 3x \sin x} $$ Следовательно: $$ \frac{1}{\operatorname{ctg}3x - \operatorname{ctg}x} = -\frac{\sin 3x \sin x}{\sin 2x} $$ Подставим полученные выражения в левую часть тождества: $$ \frac{\cos 3x \cos x}{\sin 2x} - \left(-\frac{\sin 3x \sin x}{\sin 2x}\right) = \frac{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x}{\sin 2x} $$ Применим формулу косинуса разности в числителе: $$ \frac{\cos(3x - x)}{\sin 2x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \operatorname{ctg}2x $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ \sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha = 4\cos \alpha \cos 2\alpha \sin 4\alpha $$ Сгруппируем слагаемые в левой части парами и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ (\sin 7\alpha + \sin \alpha) + (\sin 5\alpha + \sin 3\alpha) $$ $$ = 2\sin\frac{7\alpha + \alpha}{2}\cos\frac{7\alpha - \alpha}{2} + 2\sin\frac{5\alpha + \alpha \cdot 3}{2}\cos\frac{5\alpha - 3\alpha}{2} $$ $$ = 2\sin 4\alpha \cos 3\alpha + 2\sin 4\alpha \cos \alpha $$ Вынесем общий множитель $2\sin 4\alpha$ за скобки: $$ = 2\sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha) $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ \cos 3\alpha + \cos \alpha = 2\cos\frac{3\alpha + \alpha}{2}\cos\frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2\cos 2\alpha \cos \alpha $$ Подставим это выражение: $$ 2\sin 4\alpha \cdot (2\cos 2\alpha \cos \alpha) = 4\cos \alpha \cos 2\alpha \sin 4\alpha $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 4) Докажем тождество: $$ \sin^6\alpha - \cos^6\alpha = \cos 2\alpha (0{,}25\sin^2 2\alpha - 1) $$ *(Примечание: в условии учебника пропущен показатель степени 2 у синуса в скобках, верная запись — $0{,}25\sin^2 2\alpha - 1$).* Разложим левую часть по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sin^2\alpha$, $b = \cos^2\alpha$: $$ \sin^6\alpha - \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 - (\cos^2\alpha)^3 $$ $$ = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha) $$ Преобразуем первый множитель по формуле косинуса двойного угла: $$ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos 2\alpha $$ Преобразуем второй множитель, выделив полный квадрат: $$ \sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, а $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$, получаем: $$ = 1^2 - \sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1 - (\sin\alpha \cos\alpha)^2 = 1 - \left(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)^2 = 1 - 0{,}25\sin^2 2\alpha $$ Перемножим оба множителя: $$ -\cos 2\alpha \cdot (1 - 0{,}25\sin^2 2\alpha) = \cos 2\alpha (0{,}25\sin^2 2\alpha - 1) $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано.