ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.153

**1)** $\sin^3 2\alpha \cdot \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \cdot \sin 6\alpha$ Для удобства выполним замену переменной: пусть $x = 2\alpha$, тогда $6\alpha = 3x$. Выражение принимает вид: $$ \sin^3 x \cos 3x + \cos^3 x \sin 3x $$ Воспользуемся формулами тройного аргумента: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ и $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$. Подставим их в выражение: $$ \sin^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x) + \cos^3 x (3\sin x - 4\sin^3 x) $$ Раскроем скобки: $$ 4\sin^3 x \cos^3 x - 3\sin^3 x \cos x + 3\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos^3 x $$ Слагаемые $4\sin^3 x \cos^3 x$ и $-4\sin^3 x \cos^3 x$ взаимно уничтожаются: $$ 3\sin x \cos^3 x - 3\sin^3 x \cos x = 3\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) $$ Применим формулы двойного угла ($\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$): $$ 3 \cdot \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x = \frac{3}{2}\sin 2x \cos 2x = \frac{3}{4}(2\sin 2x \cos 2x) = \frac{3}{4}\sin 4x $$ Возвращаясь к переменной $\alpha$ ($x = 2\alpha$, $4x = 8\alpha$), получаем: $$ \frac{3}{4}\sin 8\alpha $$ **Ответ:** $\frac{3}{4}\sin 8\alpha$. --- **2)** $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta)$ Распишем косинус суммы по формуле $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) $$ Раскроем скобки: $$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta - 2\sin^2 \alpha \sin^2 \beta $$ Сгруппируем слагаемые, представив $-2\sin^2 \alpha \sin^2 \beta$ как $-\sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta$: $$ (\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta) + (\sin^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta) + 2\sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) + \sin^2 \beta (1 - \sin^2 \alpha) + 2(\sin \alpha \cos \beta)(\cos \alpha \sin \beta) $$ Используя основное тригонометрическое тождество ($1 - \sin^2 x = \cos^2 x$): $$ \sin^2 \alpha \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + 2(\sin \alpha \cos \beta)(\cos \alpha \sin \beta) $$ Получили формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sin \alpha \cos \beta$, $b = \cos \alpha \sin \beta$: $$ (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 = \sin^2(\alpha + \beta) $$ **Ответ:** $\sin^2(\alpha + \beta)$. --- **3)** $9 \sin \alpha \cos 3\alpha + 9 \sin \alpha \cos \alpha - 3 \sin 3\alpha \cos 3\alpha - 3 \sin 3\alpha \cos \alpha$ Сгруппируем слагаемые методом вынесения общего множителя: $$ 9 \sin \alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha) - 3 \sin 3\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha) $$ Вынесем общий двучлен $(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$ за скобки: $$ (9 \sin \alpha - 3 \sin 3\alpha)(\cos 3\alpha + \cos \alpha) = 3(3 \sin \alpha - \sin 3\alpha)(\cos 3\alpha + \cos \alpha) $$ Используем формулу синуса тройного угла $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$, откуда: $$ 3\sin \alpha - \sin 3\alpha = 4\sin^3 \alpha $$ Преобразуем сумму косинусов в произведение: $$ \cos 3\alpha + \cos \alpha = 2\cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2\cos 2\alpha \cos \alpha $$ Подставим полученные выражения: $$ 3 \cdot (4\sin^3 \alpha) \cdot (2\cos 2\alpha \cos \alpha) = 24 \sin^3 \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha $$ Свернем полученное произведение, выделив синусы двойного и четверного углов: $$ 12 \sin^2 \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha) \cos 2\alpha = 12 \sin^2 \alpha \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 6 \sin^2 \alpha (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha) = 6 \sin^2 \alpha \sin 4\alpha $$ **Ответ:** $6 \sin^2 \alpha \sin 4\alpha$. --- **4)** $4(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 4(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 1$ Преобразуем суммы степеней: 1) Выделим полный квадрат для $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$: $$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ 2) Разложим сумму кубов для $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) $$ $$ = 1 \cdot (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Подставим найденные выражения в исходное равенство: $$ 4(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 4(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 1 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 4 - 8\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4 + 12\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 $$ Используем формулу синуса двойного угла $(2\sin \alpha \cos \alpha)^2 = \sin^2 2\alpha$: $$ \sin^2 2\alpha - 1 = -(1 - \sin^2 2\alpha) = -\cos^2 2\alpha $$ **Ответ:** $-\cos^2 2\alpha$.