ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.152

1) Вычислим $\sin 18^\circ$. Пусть $\alpha = 18^\circ$, тогда $5\alpha = 90^\circ$, откуда $2\alpha = 90^\circ - 3\alpha$. Применим функцию синуса к обеим частям: $$ \sin 2\alpha = \sin(90^\circ - 3\alpha) $$ $$ \sin 2\alpha = \cos 3\alpha $$ Используем формулы синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и косинуса тройного угла $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$: $$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $$ Так как $\alpha = 18^\circ$, то $\cos 18^\circ \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$: $$ 2\sin\alpha = 4\cos^2\alpha - 3 $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, получим: $$ 2\sin\alpha = 4(1 - \sin^2\alpha) - 3 $$ $$ 4\sin^2\alpha + 2\sin\alpha - 1 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $\sin\alpha$: Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 4 + 16 = 20$. $$ \sin\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $$ Поскольку $18^\circ$ находится в I четверти, $\sin 18^\circ > 0$, поэтому выбираем знак «плюс»: $$ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} $$ 2) Вычислим $\sin 42^\circ$. Представим угол $42^\circ$ как разность табличного угла $60^\circ$ и угла $18^\circ$: $$ \sin 42^\circ = \sin(60^\circ - 18^\circ) = \sin 60^\circ \cos 18^\circ - \cos 60^\circ \sin 18^\circ $$ Найдем $\cos 18^\circ$, зная, что $\cos 18^\circ > 0$: $$ \cos 18^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 18^\circ} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16}} = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} $$ Подставим найденные значения: $$ \sin 42^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - (\sqrt{5} - 1)}{8} = \frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8} $$ 3) Вычислим $\sin 15^\circ$. Представим угол $15^\circ$ как разность табличных углов $45^\circ$ и $30^\circ$: $$ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) $$ Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$: $$ \sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$ 4) Вычислим $\sin \frac{3\pi}{10} \cdot \sin \frac{\pi}{10}$. Переведем радианы в градусы: $\frac{\pi}{10} = 18^\circ$, $\frac{3\pi}{10} = 54^\circ$. $$ \sin \frac{3\pi}{10} \cdot \sin \frac{\pi}{10} = \sin 54^\circ \sin 18^\circ $$ По формуле приведения $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$: $$ \sin 54^\circ \sin 18^\circ = \cos 36^\circ \sin 18^\circ $$ Умножим и разделим выражение на $2\cos 18^\circ$: $$ \frac{2\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} $$ Умножим числитель и знаменатель на 2 для применения формулы синуса двойного угла: $$ \frac{2\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ} $$ По формуле приведения $\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$: $$ \frac{\cos 18^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{1}{4} $$ **Ответ:** 1) $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$; 2) $\frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8}$; 3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$; 4) $\frac{1}{4}$.