ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.147

### 1) Докажем тождество: $$ \frac{\operatorname{tg}2x + \operatorname{ctg}3y}{\operatorname{ctg}2x + \operatorname{tg}3y} = \frac{\operatorname{tg}2x}{\operatorname{tg}3y} $$ Преобразуем левую часть тождества, выразив котангенсы через тангенсы ($\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$): $$ \frac{\operatorname{tg}2x + \frac{1}{\operatorname{tg}3y}}{\frac{1}{\operatorname{tg}2x} + \operatorname{tg}3y} = \frac{\frac{\operatorname{tg}2x \operatorname{tg}3y + 1}{\operatorname{tg}3y}}{\frac{1 + \operatorname{tg}2x \operatorname{tg}3y}{\operatorname{tg}2x}} $$ Выполним деление дробей: $$ \frac{\operatorname{tg}2x \operatorname{tg}3y + 1}{\operatorname{tg}3y} \cdot \frac{\operatorname{tg}2x}{\operatorname{tg}2x \operatorname{tg}3y + 1} = \frac{\operatorname{tg}2x}{\operatorname{tg}3y} $$ Получили выражение, равное правой части тождества. Тождество доказано. --- ### 2) Докажем тождество: $$ \operatorname{tg}\gamma + \operatorname{ctg}\gamma + \operatorname{tg}3\gamma + \operatorname{ctg}3\gamma = \frac{8\cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma} $$ Сложим попарно тангенс и котангенс одного аргумента: $$ \operatorname{tg}\gamma + \operatorname{ctg}\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} + \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma} = \frac{\sin^2\gamma + \cos^2\gamma}{\sin\gamma \cos\gamma} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\gamma} = \frac{2}{\sin 2\gamma} $$ Аналогично для аргумента $3\gamma$: $$ \operatorname{tg}3\gamma + \operatorname{ctg}3\gamma = \frac{2}{\sin 6\gamma} $$ Преобразуем сумму полученных выражений в левой части: $$ \frac{2}{\sin 2\gamma} + \frac{2}{\sin 6\gamma} = 2 \cdot \frac{\sin 6\gamma + \sin 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} $$ Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$: $$ \sin 6\gamma + \sin 2\gamma = 2 \sin 4\gamma \cos 2\gamma $$ Расписав $\sin 4\gamma = 2\sin 2\gamma \cos 2\gamma$, получаем: $$ 2 \cdot \frac{2 \cdot (2\sin 2\gamma \cos 2\gamma) \cos 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{8 \sin 2\gamma \cos^2 2\gamma}{\sin 2\gamma \sin 6\gamma} = \frac{8\cos^2 2\gamma}{\sin 6\gamma} $$ Тождество доказано. --- ### 3) Докажем тождество: $$ \frac{\sin 2x - \sin 3x + \sin 4x}{\cos 2x - \cos 3x + \cos 4x} = \operatorname{tg} 3x $$ Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе: $$ \frac{(\sin 4x + \sin 2x) - \sin 3x}{(\cos 4x + \cos 2x) - \cos 3x} $$ Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов: $$ \sin 4x + \sin 2x = 2 \sin 3x \cos x $$ $$ \cos 4x + \cos 2x = 2 \cos 3x \cos x $$ Подставим полученные выражения: $$ \frac{2\sin 3x \cos x - \sin 3x}{2\cos 3x \cos x - \cos 3x} = \frac{\sin 3x (2\cos x - 1)}{\cos 3x (2\cos x - 1)} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \operatorname{tg} 3x $$ Тождество доказано. --- ### 4) Докажем тождество: $$ \sin^6 \frac{y}{2} - \cos^6 \frac{y}{2} = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cdot \cos y $$ Разложим левую часть как разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sin^2 \frac{y}{2}$, $b = \cos^2 \frac{y}{2}$: $$ \left(\sin^2 \frac{y}{2} - \cos^2 \frac{y}{2}\right) \left(\sin^4 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} + \cos^4 \frac{y}{2}\right) $$ Используем формулу косинуса двойного угла в первой скобке: $$ \sin^2 \frac{y}{2} - \cos^2 \frac{y}{2} = -\left(\cos^2 \frac{y}{2} - \sin^2 \frac{y}{2}\right) = -\cos y $$ Во второй скобке выделим полный квадрат: $$ \sin^4 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} + \cos^4 \frac{y}{2} = \left(\sin^2 \frac{y}{2} + \cos^2 \frac{y}{2}\right)^2 - \sin^2 \frac{y}{2} \cos^2 \frac{y}{2} $$ Так как $\sin^2 \frac{y}{2} + \cos^2 \frac{y}{2} = 1$, а $\sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} = \frac{1}{2} \sin y$: $$ 1^2 - \left(\frac{1}{2}\sin y\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2 y}{4} = \frac{4 - \sin^2 y}{4} $$ Перемножим обе части: $$ -\cos y \cdot \frac{4 - \sin^2 y}{4} = \frac{\sin^2 y - 4}{4} \cdot \cos y $$ Тождество доказано. --- ### 5) Докажем тождество: $$ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + 4\alpha \right) + \sin \left( 3\pi - 8\alpha \right) - \sin \left( 4\pi - 12\alpha \right) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha $$ Применим формулы приведения к каждому слагаемому левой части: $$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) = \sin 4\alpha $$ $$ \sin(3\pi - 8\alpha) = \sin(\pi - 8\alpha) = \sin 8\alpha $$ $$ \sin(4\pi - 12\alpha) = \sin(-12\alpha) = -\sin 12\alpha $$ Подставим в левую часть: $$ \sin 4\alpha + \sin 8\alpha - (-\sin 12\alpha) = \sin 12\alpha + (\sin 8\alpha + \sin 4\alpha) $$ Применим формулу суммы синусов $\sin 8\alpha + \sin 4\alpha = 2\sin 6\alpha \cos 2\alpha$, а также формулу синуса двойного угла $\sin 12\alpha = 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha$: $$ 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha + 2\sin 6\alpha \cos 2\alpha = 2\sin 6\alpha (\cos 6\alpha + \cos 2\alpha) $$ Применим формулу суммы косинусов: $$ \cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos\frac{6\alpha + 2\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha - 2\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha \cos 2\alpha $$ Окончательно получаем: $$ 2\sin 6\alpha \cdot (2\cos 4\alpha \cos 2\alpha) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha $$ Тождество доказано. --- ### 6) Докажем тождество: $$ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $$ Раскроем скобки в левой части: $$ \cos^2 \alpha - 2\cos\alpha \cos\beta + \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha - 2\sin\alpha \sin\beta + \sin^2 \beta $$ Сгруппируем слагаемые с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) $$ $$ = 1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2(1 - \cos(\alpha - \beta)) $$ Используем формулу понижения степени $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$: $$ 2 \cdot 2\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $$ Тождество доказано. --- ### 7) Докажем тождество: $$ \frac{1 - \operatorname{tg}(90^\circ + \beta)}{1 + \operatorname{ctg}(360^\circ - \beta)} = \frac{\operatorname{tg}(180^\circ + \beta) + 1}{\operatorname{ctg}(270^\circ - \beta) - 1} $$ Используем формулы приведения для всех тригонометрических функций: $$ \operatorname{tg}(90^\circ + \beta) = -\operatorname{ctg}\beta $$ $$ \operatorname{ctg}(360^\circ - \beta) = -\operatorname{ctg}\beta $$ $$ \operatorname{tg}(180^\circ + \beta) = \operatorname{tg}\beta $$ $$ \operatorname{ctg}(270^\circ - \beta) = \operatorname{tg}\beta $$ Преобразуем левую часть равенства: $$ \frac{1 - (-\operatorname{ctg}\beta)}{1 + (-\operatorname{ctg}\beta)} = \frac{1 + \operatorname{ctg}\beta}{1 - \operatorname{ctg}\beta} $$ Преобразуем правую часть равенства: $$ \frac{\operatorname{tg}\beta + 1}{\operatorname{tg}\beta - 1} = \frac{\frac{1}{\operatorname{ctg}\beta} + 1}{\frac{1}{\operatorname{ctg}\beta} - 1} = \frac{\frac{1 + \operatorname{ctg}\beta}{\operatorname{ctg}\beta}}{\frac{1 - \operatorname{ctg}\beta}{\operatorname{ctg}\beta}} = \frac{1 + \operatorname{ctg}\beta}{1 - \operatorname{ctg}\beta} $$ Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано. --- ### 8) Докажем тождество: $$ \frac{1 - 2\sin^2 x}{1 + \sin 2x} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} $$ Преобразуем числитель и знаменатель левой части: $$ 1 - 2\sin^2 x = \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $$ $$ 1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\cos x + \sin x)^2 $$ Тогда левая часть принимает вид: $$ \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} $$ Разделим числитель и знаменатель на $\cos x \neq 0$: $$ \frac{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} $$ Тождество доказано. --- ### 9) Докажем тождество: $$ \cos 4\beta - \sin 4\beta \operatorname{ctg} 2\beta = \cos 2\beta - 2\cos^2 \beta $$ Преобразуем левую часть тождества, расписав $\sin 4\beta = 2\sin 2\beta \cos 2\beta$ и $\operatorname{ctg} 2\beta = \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta}$: $$ \cos 4\beta - (2\sin 2\beta \cos 2\beta) \cdot \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta} = \cos 4\beta - 2\cos^2 2\beta $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 4\beta = 2\cos^2 2\beta - 1$: $$ (2\cos^2 2\beta - 1) - 2\cos^2 2\beta = -1 $$ Теперь преобразуем правую часть тождества, используя $\cos 2\beta = 2\cos^2 \beta - 1$: $$ (2\cos^2 \beta - 1) - 2\cos^2 \beta = -1 $$ Обе части равны $-1$, следовательно, тождество доказано. --- ### 10) Докажем тождество: $$ \cos^2 y - \sin^2 2y = \cos^2 y (1 - 4\sin^2 y) $$ Применим в левой части формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2\sin y \cos y$: $$ \cos^2 y - (2\sin y \cos y)^2 = \cos^2 y - 4\sin^2 y \cos^2 y $$ Вынесем общий множитель $\cos^2 y$ за скобки: $$ \cos^2 y (1 - 4\sin^2 y) $$ Получили правую часть. Тождество доказано.