ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.144

**1)** Преобразуем выражение $\sqrt{3} - 2\cos\varphi$: Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $$ \sqrt{3} - 2\cos\varphi = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\varphi\right) $$ Заменим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на значение косинуса: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$. Получаем: $$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\varphi\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\varphi\right) $$ Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} = 2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}$: $$ 2\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\varphi\right) = 2 \cdot 2\sin\frac{\varphi + \frac{\pi}{6}}{2}\sin\frac{\varphi - \frac{\pi}{6}}{2} = 4\sin\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) $$ **Ответ:** $4\sin\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{12}\right)$ --- **2)** Преобразуем выражение $2\sin\varphi - \sqrt{3}$: Вынесем множитель $2$ за скобки: $$ 2\sin\varphi - \sqrt{3} = 2\left(\sin\varphi - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$ Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$, запишем разность синусов: $$ 2\left(\sin\varphi - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\sin\varphi - \sin\frac{\pi}{3}\right) $$ Используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$: $$ 2\left(\sin\varphi - \sin\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot 2\sin\frac{\varphi - \frac{\pi}{3}}{2}\cos\frac{\varphi + \frac{\pi}{3}}{2} = 4\sin\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) $$ **Ответ:** $4\sin\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$ --- **3)** Преобразуем выражение $\sqrt{2} + 2\cos\varphi$: Вынесем множитель $2$ за скобки: $$ \sqrt{2} + 2\cos\varphi = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\varphi\right) $$ Представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{4}$: $$ 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\varphi\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\varphi\right) $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\varphi\right) = 2 \cdot 2\cos\frac{\varphi + \frac{\pi}{4}}{2}\cos\frac{\varphi - \frac{\pi}{4}}{2} = 4\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $$ **Ответ:** $4\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{8}\right)$ --- **4)** Преобразуем выражение $0,5 - \sin\varphi$: Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,5 = \frac{1}{2}$, и запишем её через значение синуса: $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$: $$ 0,5 - \sin\varphi = \sin\frac{\pi}{6} - \sin\varphi $$ Используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$: $$ \sin\frac{\pi}{6} - \sin\varphi = 2\sin\frac{\frac{\pi}{6} - \varphi}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6} + \varphi}{2} = 2\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) $$ *(или с вынесением знака минус: $-2\sin\left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$)* **Ответ:** $2\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$