ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.150

### 1) Вычислите $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8}$ Используем формулы приведения для каждого слагаемого: * $\cos \frac{3\pi}{8} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{8} \implies \cos^2 \frac{3\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$; * $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{8} \implies \sin^2 \frac{5\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$; * $\cos \frac{7\pi}{8} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\cos \frac{\pi}{8} \implies \cos^2 \frac{7\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$. Подставим полученные выражения: $$ \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} $$ $$ = 2\left(\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8}\right) = 2 \cdot 1 = 2 $$ **Ответ:** $2$ --- ### 2) Вычислите $\tg 435^\circ + \tg 375^\circ$ Используем периодичность тангенса ($T = 180^\circ$): * $\tg 435^\circ = \tg(435^\circ - 2 \cdot 180^\circ) = \tg 75^\circ$; * $\tg 375^\circ = \tg(375^\circ - 2 \cdot 180^\circ) = \tg 15^\circ$. Применим формулу суммы тангенсов $\tg \alpha + \tg \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$: $$ \tg 75^\circ + \tg 15^\circ = \frac{\sin(75^\circ + 15^\circ)}{\cos 75^\circ \cos 15^\circ} = \frac{\sin 90^\circ}{\frac{1}{2}(\cos(75^\circ + 15^\circ) + \cos(75^\circ - 15^\circ))} $$ $$ = \frac{1}{\frac{1}{2}(\cos 90^\circ + \cos 60^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{2}\left(0 + \frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 $$ **Ответ:** $4$ --- ### 3) Вычислите $\tg 255^\circ - \tg 195^\circ$ Используем формулы приведения: * $\tg 255^\circ = \tg(180^\circ + 75^\circ) = \tg 75^\circ$; * $\tg 195^\circ = \tg(180^\circ + 15^\circ) = \tg 15^\circ$. Применим формулу разности тангенсов $\tg \alpha - \tg \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$: $$ \tg 75^\circ - \tg 15^\circ = \frac{\sin(75^\circ - 15^\circ)}{\cos 75^\circ \cos 15^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\frac{1}{4}} = 4 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} $$ **Ответ:** $2\sqrt{3}$ --- ### 4) Вычислите $\ctg\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \ctg\left(\frac{5\pi}{12}\right)$ Используем периодичность котангенса ($T = \pi$): $$ \ctg\left(\frac{13\pi}{12}\right) = \ctg\left(\pi + \frac{\pi}{12}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{12}\right) $$ Применим формулу разности котангенсов $\ctg \alpha - \ctg \beta = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$: $$ \ctg\left(\frac{\pi}{12}\right) - \ctg\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)} $$ $$ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - 0\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{3} $$ **Ответ:** $2\sqrt{3}$ --- ### 5) Вычислите $\sin\left(2x + \frac{5\pi}{4}\right)$ при $\tg x = \frac{2}{3}$ По формуле синуса суммы: $$ \sin\left(2x + \frac{5\pi}{4}\right) = \sin 2x \cos \frac{5\pi}{4} + \cos 2x \sin \frac{5\pi}{4} $$ Так как $\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \sin\left(2x + \frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2x + \cos 2x) $$ Выразим $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через $\tg x = \frac{2}{3}$: $$ \sin 2x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{4}{3}}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{9}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{13} = \frac{12}{13} $$ $$ \cos 2x = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \frac{1 - \frac{4}{9}}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}} = \frac{5}{13} $$ Подставим полученные значения: $$ \sin\left(2x + \frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{12}{13} + \frac{5}{13}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{17}{13} = -\frac{17\sqrt{2}}{26} $$ **Ответ:** $-\frac{17\sqrt{2}}{26}$ --- ### 6) Вычислите $\cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)$ при $\ctg x = \frac{2}{3}$ Если $\ctg x = \frac{2}{3}$, то $\tg x = \frac{3}{2}$. По формуле косинуса суммы: $$ \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) = \cos 2x \cos \frac{7\pi}{4} - \sin 2x \sin \frac{7\pi}{4} $$ Так как $\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) = \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin 2x \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 2x + \sin 2x) $$ Выразим $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через $\tg x = \frac{3}{2}$: $$ \sin 2x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3}{1 + \frac{9}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{12}{13} $$ $$ \cos 2x = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \frac{1 - \frac{9}{4}}{1 + \frac{9}{4}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{13}{4}} = -\frac{5}{13} $$ Подставим найденные значения: $$ \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{5}{13} + \frac{12}{13}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{7}{13} = \frac{7\sqrt{2}}{26} $$ **Ответ:** $\frac{7\sqrt{2}}{26}$ --- ### 7) Вычислите $\sin 2x$ при $\sin x - \cos x = p$ Возведем обе части данного равенства в квадрат: $$ (\sin x - \cos x)^2 = p^2 $$ $$ \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = p^2 $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ 1 - \sin 2x = p^2 \implies \sin 2x = 1 - p^2 $$ **Ответ:** $1 - p^2$ --- ### 8) Вычислите $\tg\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) + \tg\left(\frac{5\pi}{4} - x\right)$ при $\tg\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 0,75$ По формуле приведения: $$ \tg\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\ctg x = 0,75 = \frac{3}{4} \implies \ctg x = -\frac{3}{4} \implies \tg x = -\frac{4}{3} $$ Упростим заданное выражение с помощью формул приведения и формул тангенса суммы и разности: $$ \tg\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = \tg\left(\pi + \frac{\pi}{4} + x\right) = \tg\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{1 + \tg x}{1 - \tg x} $$ $$ \tg\left(\frac{5\pi}{4} - x\right) = \tg\left(\pi + \frac{\pi}{4} - x\right) = \tg\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{1 - \tg x}{1 + \tg x} $$ Сложим полученные дроби: $$ \frac{1 + \tg x}{1 - \tg x} + \frac{1 - \tg x}{1 + \tg x} = \frac{(1 + \tg x)^2 + (1 - \tg x)^2}{(1 - \tg x)(1 + \tg x)} = \frac{2(1 + \tg^2 x)}{1 - \tg^2 x} $$ Подставим $\tg x = -\frac{4}{3}$: $$ 1 + \tg^2 x = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9} $$ $$ 1 - \tg^2 x = 1 - \frac{16}{9} = -\frac{7}{9} $$ $$ \frac{2(1 + \tg^2 x)}{1 - \tg^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{25}{9}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{50}{7} = -7\frac{1}{7} $$ **Ответ:** $-\frac{50}{7}$ (или $-7\frac{1}{7}$) --- ### 9) Найдите $\sin \frac{x + y}{2}$ и $\cos \frac{x + y}{2}$ при $\sin x + \sin y = -\frac{21}{65}$, $\cos x + \cos y = -\frac{27}{65}$, $\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$ и $-\frac{\pi}{2} < y < 0$ *(Примечание: в условии опечатка в знаке границы для $y$, верный интервал $-\frac{\pi}{2} < y < 0$)*. Применим формулы суммы синусов и косинусов: $$ \begin{cases} \sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = -\frac{21}{65} \\ \cos x + \cos y = 2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = -\frac{27}{65} \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \frac{2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}} = \frac{-\frac{21}{65}}{-\frac{27}{65}} \implies \tg \frac{x+y}{2} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9} $$ Определим четверть для аргумента $\frac{x+y}{2}$: $$ \frac{5\pi}{2} < x < 3\pi \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} < y < 0 $$ Сложим неравенства: $$ \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < x + y < 3\pi + 0 \implies 2\pi < x + y < 3\pi \implies \pi < \frac{x+y}{2} < \frac{3\pi}{2} $$ Угол $\frac{x+y}{2}$ принадлежит III координатной четверти, следовательно: $$ \sin \frac{x+y}{2} < 0 \quad \text{и} \quad \cos \frac{x+y}{2} < 0 $$ Воспользуемся тождеством $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$ \frac{1}{\cos^2 \frac{x+y}{2}} = 1 + \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 + \frac{49}{81} = \frac{130}{81} \implies \cos^2 \frac{x+y}{2} = \frac{81}{130} $$ Учитывая знак в III четверти: $$ \cos \frac{x+y}{2} = -\sqrt{\frac{81}{130}} = -\frac{9}{\sqrt{130}} = -\frac{9\sqrt{130}}{130} $$ Найдем синус: $$ \sin \frac{x+y}{2} = \tg \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{9}{\sqrt{130}}\right) = -\frac{7}{\sqrt{130}} = -\frac{7\sqrt{130}}{130} $$ **Ответ:** $\sin \frac{x+y}{2} = -\frac{7\sqrt{130}}{130}$, $\cos \frac{x+y}{2} = -\frac{9\sqrt{130}}{130}$