ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.145

**1)** Разложим на множители выражение: $$ \sin\gamma + \sin 2\gamma + \sin 3\gamma + \sin 4\gamma $$ Сгруппируем слагаемые парами: первое с четвертым и второе с третьим: $$ (\sin 4\gamma + \sin\gamma) + (\sin 3\gamma + \sin 2\gamma) $$ Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \sin 4\gamma + \sin\gamma = 2\sin\frac{4\gamma + \gamma}{2}\cos\frac{4\gamma - \gamma}{2} = 2\sin\frac{5\gamma}{2}\cos\frac{3\gamma}{2} $$ $$ \sin 3\gamma + \sin 2\gamma = 2\sin\frac{3\gamma + 2\gamma}{2}\cos\frac{3\gamma - 2\gamma}{2} = 2\sin\frac{5\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2} $$ Подставим полученные произведения в исходное выражение: $$ 2\sin\frac{5\gamma}{2}\cos\frac{3\gamma}{2} + 2\sin\frac{5\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = 2\sin\frac{5\gamma}{2}\left(\cos\frac{3\gamma}{2} + \cos\frac{\gamma}{2}\right) $$ Преобразуем сумму косинусов в скобках по формуле $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \cos\frac{3\gamma}{2} + \cos\frac{\gamma}{2} = 2\cos\frac{\frac{3\gamma}{2} + \frac{\gamma}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3\gamma}{2} - \frac{\gamma}{2}}{2} = 2\cos\gamma\cos\frac{\gamma}{2} $$ Окончательно получаем: $$ 2\sin\frac{5\gamma}{2} \cdot 2\cos\gamma\cos\frac{\gamma}{2} = 4\cos\frac{\gamma}{2}\cos\gamma\sin\frac{5\gamma}{2} $$ Ответ: $4\cos\frac{\gamma}{2}\cos\gamma\sin\frac{5\gamma}{2}$. --- **2)** Разложим на множители выражение: $$ \cos 2\gamma - \cos 4\gamma - \cos 6\gamma + \cos 8\gamma $$ Сгруппируем слагаемые с положительными и отрицательными знаками: $$ (\cos 8\gamma + \cos 2\gamma) - (\cos 6\gamma + \cos 4\gamma) $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ к каждой группе: $$ \cos 8\gamma + \cos 2\gamma = 2\cos\frac{8\gamma + 2\gamma}{2}\cos\frac{8\gamma - 2\gamma}{2} = 2\cos 5\gamma\cos 3\gamma $$ $$ \cos 6\gamma + \cos 4\gamma = 2\cos\frac{6\gamma + 4\gamma}{2}\cos\frac{6\gamma - 4\gamma}{2} = 2\cos 5\gamma\cos\gamma $$ Подставим полученные результаты в выражение: $$ 2\cos 5\gamma\cos 3\gamma - 2\cos 5\gamma\cos\gamma = 2\cos 5\gamma(\cos 3\gamma - \cos\gamma) $$ Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \cos 3\gamma - \cos\gamma = -2\sin\frac{3\gamma + \gamma}{2}\sin\frac{3\gamma - \gamma}{2} = -2\sin 2\gamma\sin\gamma $$ Окончательно получаем: $$ 2\cos 5\gamma \cdot (-2\sin 2\gamma\sin\gamma) = -4\sin\gamma\sin 2\gamma\cos 5\gamma $$ Ответ: $-4\sin\gamma\sin 2\gamma\cos 5\gamma$.