ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.146

**1)** Найдем значение выражения $\cos 2\gamma - \cos 6\gamma$, если $\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Применим формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 2\gamma = 2\cos^2\gamma - 1 $$ Подставим известное значение $\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$: $$ \cos 2\gamma = 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3} $$ Преобразуем разность косинусов в произведение по формуле $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$: $$ \cos 2\gamma - \cos 6\gamma = 2\sin\frac{2\gamma + 6\gamma}{2}\sin\frac{6\gamma - 2\gamma}{2} = 2\sin 4\gamma \sin 2\gamma $$ Разложим $\sin 4\gamma$ по формуле синуса двойного угла ($\sin 4\gamma = 2\sin 2\gamma \cos 2\gamma$): $$ 2\sin 4\gamma \sin 2\gamma = 2 \cdot (2\sin 2\gamma \cos 2\gamma) \sin 2\gamma = 4\sin^2 2\gamma \cos 2\gamma $$ Выразим $\sin^2 2\gamma$ через основное тригонометрическое тождество ($\sin^2 2\gamma = 1 - \cos^2 2\gamma$): $$ 4(1 - \cos^2 2\gamma)\cos 2\gamma $$ Подставим найденное значение $\cos 2\gamma = -\frac{1}{3}$: $$ 4\left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 4\left(1 - \frac{1}{9}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{8}{9} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{32}{27} $$ Ответ: $-\frac{32}{27}$ (или $-1\frac{5}{27}$). --- **2)** Найдем значение выражения $\sin 5\gamma - \sin 3\gamma$, если $\sin\gamma = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$: $$ \sin 5\gamma - \sin 3\gamma = 2\sin\frac{5\gamma - 3\gamma}{2}\cos\frac{5\gamma + 3\gamma}{2} = 2\sin\gamma \cos 4\gamma $$ Выразим $\cos 2\gamma$ через $\sin\gamma$: $$ \cos 2\gamma = 1 - 2\sin^2\gamma = 1 - 2 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5} $$ Найдем $\cos 4\gamma$, используя формулу косинуса двойного угла для аргумента $2\gamma$: $$ \cos 4\gamma = 2\cos^2 2\gamma - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25} $$ Подставим полученные значения в преобразованное выражение: $$ 2\sin\gamma \cos 4\gamma = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = -\frac{28}{25\sqrt{5}} = -\frac{28\sqrt{5}}{125} $$ Ответ: $-\frac{28\sqrt{5}}{125}$.