ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.148

**1)** Упростим выражение: $$ 1 - \sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) $$ Применим формулы приведения и формулу косинуса двойного аргумента: - $\sin\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) = -\sin\left(3\pi - \frac{x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right)$, следовательно, $\sin^2\left(\frac{x}{2} - 3\pi\right) = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$; - по основному тригонометрическому тождеству: $1 - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$; - $-\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = -\left(\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right)$. Подставим полученные результаты: $$ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right) $$ Ответ: $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ (или $\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right)$). --- **2)** Упростим выражение: $$ \sin^2\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right) $$ Разложим разность квадратов по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ \left(\sin\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right)\right)\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) + \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right)\right) $$ Применим формулы разности и суммы синусов: - $\sin\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right) = 2\sin(2\gamma)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$; - $\sin\left(\frac{\alpha}{2} + 2\gamma\right) + \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 2\gamma\right) = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos(2\gamma)$. Перемножим множители, группируя аргументы: $$ \left(2\sin(2\gamma)\cos(2\gamma)\right)\left(2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sin(4\gamma)\sin\alpha $$ Ответ: $\sin\alpha\sin 4\gamma$. --- **3)** Упростим выражение: $$ \cos^2(\varphi + 2\beta) + \sin^2(\varphi - 2\beta) - 1 $$ Используем тождество $\cos^2(\varphi + 2\beta) - 1 = -\sin^2(\varphi + 2\beta)$: $$ \sin^2(\varphi - 2\beta) - \sin^2(\varphi + 2\beta) $$ Разложим как разность квадратов: $$ (\sin(\varphi - 2\beta) - \sin(\varphi + 2\beta))(\sin(\varphi - 2\beta) + \sin(\varphi + 2\beta)) $$ Применим формулы разности и суммы синусов: - $\sin(\varphi - 2\beta) - \sin(\varphi + 2\beta) = 2\sin(-2\beta)\cos\varphi = -2\sin(2\beta)\cos\varphi$; - $\sin(\varphi - 2\beta) + \sin(\varphi + 2\beta) = 2\sin\varphi\cos(-2\beta) = 2\sin\varphi\cos(2\beta)$. Перемножим: $$ -(2\sin\varphi\cos\varphi)(2\sin 2\beta\cos 2\beta) = -\sin 2\varphi \sin 4\beta $$ Ответ: $-\sin 2\varphi \sin 4\beta$. --- **4)** Упростим выражение: $$ \sin^2(x + 2y) + \sin^2(x - 2y) - 1 $$ Воспользуемся формулами понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $$ \frac{1 - \cos(2x + 4y)}{2} + \frac{1 - \cos(2x - 4y)}{2} - 1 $$ $$ = \frac{2 - (\cos(2x + 4y) + \cos(2x - 4y))}{2} - 1 $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$: $$ \cos(2x + 4y) + \cos(2x - 4y) = 2\cos 2x \cos 4y $$ Тогда выражение принимает вид: $$ \frac{2 - 2\cos 2x \cos 4y}{2} - 1 = 1 - \cos 2x \cos 4y - 1 = -\cos 2x \cos 4y $$ Ответ: $-\cos 2x \cos 4y$. --- **5)** Упростим выражение: $$ (\cos\alpha - \cos2\beta)^2 + (\sin\alpha + \sin2\beta)^2 $$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $$ \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos2\beta + \cos^2 2\beta + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin2\beta + \sin^2 2\beta $$ Сгруппируем слагаемые с помощью основного тригонометрического тождества: $$ (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2 2\beta + \sin^2 2\beta) - 2(\cos\alpha\cos2\beta - \sin\alpha\sin2\beta) $$ $$ = 1 + 1 - 2\cos(\alpha + 2\beta) = 2 - 2\cos(\alpha + 2\beta) $$ Применим формулу $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$: $$ 2(1 - \cos(\alpha + 2\beta)) = 2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha + 2\beta}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2} + \beta\right) $$ Ответ: $4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2} + \beta\right)$ (или $2 - 2\cos(\alpha + 2\beta)$). --- **6)** Упростим выражение: $$ \frac{\cotg^2\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) - \cos^2\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right)}{\cotg^2\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) - \cos^2\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right)} $$ Применим формулы приведения к каждому элементу: - $\cotg\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) = -\tg\beta \implies \cotg^2\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) = (-\tg\beta)^2 = \tg^2\beta$; - $\cos\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \sin\beta \implies \cos^2\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) = \sin^2\beta$; - $\cotg\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cotg\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = -\tg\beta \implies \cotg^2\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) = (-\tg\beta)^2 = \tg^2\beta$; - $\cos\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\beta \implies \cos^2\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right) = (-\sin\beta)^2 = \sin^2\beta$. Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\tg^2\beta - \sin^2\beta}{\tg^2\beta - \sin^2\beta} = 1 $$ Ответ: $1$. --- **7)** Упростим выражение: $$ \frac{\cotg(270^\circ - x)}{1 - \tg^2(x - 180^\circ)} \cdot \frac{\cotg^2(360^\circ - x) - 1}{\cotg(180^\circ + x)} $$ Используем формулы приведения: - $\cotg(270^\circ - x) = \tg x$; - $\tg(x - 180^\circ) = \tg(-(180^\circ - x)) = -\tg(180^\circ - x) = \tg x \implies \tg^2(x - 180^\circ) = \tg^2 x$; - $\cotg(360^\circ - x) = -\cotg x \implies \cotg^2(360^\circ - x) = \cotg^2 x$; - $\cotg(180^\circ + x) = \cotg x$. Выражение принимает вид: $$ \frac{\tg x}{1 - \tg^2 x} \cdot \frac{\cotg^2 x - 1}{\cotg x} $$ Преобразуем числитель второй дроби через $\tg x$: $$ \cotg^2 x - 1 = \frac{1}{\tg^2 x} - 1 = \frac{1 - \tg^2 x}{\tg^2 x} $$ Тогда вся вторая дробь равна: $$ \frac{\cotg^2 x - 1}{\cotg x} = \frac{\frac{1 - \tg^2 x}{\tg^2 x}}{\frac{1}{\tg x}} = \frac{1 - \tg^2 x}{\tg x} $$ Перемножим дроби: $$ \frac{\tg x}{1 - \tg^2 x} \cdot \frac{1 - \tg^2 x}{\tg x} = 1 $$ Ответ: $1$.