ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.149

**1)** $\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + \text{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2$ Выразим котангенс через тангенс: $$ \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + \frac{1}{\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)} + 2 = \frac{\text{tg}^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 1}{\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)} $$ Применим формулу квадрата суммы в числителе: $$ \frac{\left(\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 1\right)^2}{\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \text{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 1\right)^2 $$ Или в терминах синуса и косинуса: $$ \frac{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)} + 2 = \frac{\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \frac{\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)^2}{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)} $$ Ответ: $\text{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + 1\right)^2$ (или $\frac{\left(\sin\frac{\beta}{2} + \cos\frac{\beta}{2}\right)^2}{\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}}$). --- **2)** $\sin 4\beta - 2\cos^2 2\beta + 1$ Используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2 2\beta - 1 = \cos 4\beta$: $$ \sin 4\beta - (2\cos^2 2\beta - 1) = \sin 4\beta - \cos 4\beta $$ Преобразуем разность в произведение с помощью вспомогательного угла: $$ \sin 4\beta - \cos 4\beta = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 4\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 4\beta\right) = \sqrt{2}\sin\left(4\beta - \frac{\pi}{4}\right) $$ Ответ: $\sqrt{2}\sin\left(4\beta - \frac{\pi}{4}\right)$. --- **3)** $\cos^{-4}y - \sin^{-4}y$ Запишем выражение в виде дробей и применим формулу разности квадратов: $$ \frac{1}{\cos^4 y} - \frac{1}{\sin^4 y} = \frac{\sin^4 y - \cos^4 y}{\sin^4 y \cos^4 y} = \frac{(\sin^2 y - \cos^2 y)(\sin^2 y + \cos^2 y)}{\sin^4 y \cos^4 y} $$ Так как $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и $\sin^2 y - \cos^2 y = -\cos 2y$: $$ \frac{-\cos 2y}{\sin^4 y \cos^4 y} = -\frac{\cos 2y}{\left(\frac{1}{2}\sin 2y\right)^4} = -\frac{16\cos 2y}{\sin^4 2y} $$ Ответ: $-\frac{\cos 2y}{\sin^4 y \cos^4 y}$ (или $-\frac{16\cos 2y}{\sin^4 2y}$). --- **4)** $\frac{\tan^4\beta - \tan^6\beta}{\cot^4\beta - \cot^2\beta}$ Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $$ \frac{\text{tg}^4\beta(1 - \text{tg}^2\beta)}{\text{ctg}^2\beta(\text{ctg}^2\beta - 1)} $$ Выразим котангенс через тангенс в знаменателе: $$ \text{ctg}^2\beta - 1 = \frac{1}{\text{tg}^2\beta} - 1 = \frac{1 - \text{tg}^2\beta}{\text{tg}^2\beta} $$ Подставим полученное выражение: $$ \frac{\text{tg}^4\beta(1 - \text{tg}^2\beta)}{\frac{1}{\text{tg}^2\beta} \cdot \frac{1 - \text{tg}^2\beta}{\text{tg}^2\beta}} = \frac{\text{tg}^4\beta(1 - \text{tg}^2\beta)}{\frac{1 - \text{tg}^2\beta}{\text{tg}^4\beta}} = \text{tg}^4\beta \cdot \text{tg}^4\beta = \text{tg}^8\beta $$ Ответ: $\text{tg}^8\beta$. --- **5)** $\frac{\sin \varphi - 2 \cos 3\varphi - \sin 5\varphi}{-\cos \varphi - 2 \sin 3\varphi + \cos 5\varphi}$ Сгруппируем слагаемые в числителе и применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$: $$ (\sin\varphi - \sin 5\varphi) - 2\cos 3\varphi = 2\sin(-2\varphi)\cos 3\varphi - 2\cos 3\varphi = -2\sin 2\varphi \cos 3\varphi - 2\cos 3\varphi = -2\cos 3\varphi(\sin 2\varphi + 1) $$ Сгруппируем слагаемые в знаменателе и применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$: $$ (\cos 5\varphi - \cos\varphi) - 2\sin 3\varphi = -2\sin 3\varphi \sin 2\varphi - 2\sin 3\varphi = -2\sin 3\varphi(\sin 2\varphi + 1) $$ Сократим дробь: $$ \frac{-2\cos 3\varphi(\sin 2\varphi + 1)}{-2\sin 3\varphi(\sin 2\varphi + 1)} = \frac{\cos 3\varphi}{\sin 3\varphi} = \text{ctg} 3\varphi $$ Ответ: $\text{ctg} 3\varphi$. --- **6)** $\frac{\sin 4\varphi + \sin 5\varphi + \sin 6\varphi}{\cos 4\varphi + \cos 5\varphi + \cos 6\varphi}$ Сгруппируем крайние слагаемые в числителе и знаменателе, применив формулы суммы синусов и косинусов: $$ \sin 6\varphi + \sin 4\varphi = 2\sin 5\varphi \cos\varphi $$ $$ \cos 6\varphi + \cos 4\varphi = 2\cos 5\varphi \cos\varphi $$ Подставим в числитель и знаменатель и вынесем общие множители: $$ \frac{2\sin 5\varphi \cos\varphi + \sin 5\varphi}{2\cos 5\varphi \cos\varphi + \cos 5\varphi} = \frac{\sin 5\varphi(2\cos\varphi + 1)}{\cos 5\varphi(2\cos\varphi + 1)} = \frac{\sin 5\varphi}{\cos 5\varphi} = \text{tg} 5\varphi $$ Ответ: $\text{tg} 5\varphi$. --- **7)** $\sin 5\varphi - \sin 6\varphi - \sin 7\varphi + \sin 8\varphi$ Сгруппируем слагаемые попарно: $$ (\sin 8\varphi - \sin 6\varphi) - (\sin 7\varphi - \sin 5\varphi) $$ Применим формулу разности синусов к каждой скобке: $$ 2\sin\varphi \cos 7\varphi - 2\sin\varphi \cos 6\varphi = 2\sin\varphi(\cos 7\varphi - \cos 6\varphi) $$ Применим формулу разности косинусов к выражению в скобках: $$ \cos 7\varphi - \cos 6\varphi = -2\sin\left(\frac{13\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) $$ Получаем: $$ 2\sin\varphi \cdot \left(-2\sin\frac{13\varphi}{2}\sin\frac{\varphi}{2}\right) = -4\sin\varphi \sin\frac{\varphi}{2}\sin\frac{13\varphi}{2} $$ Ответ: $-4\sin\varphi \sin\frac{\varphi}{2}\sin\frac{13\varphi}{2}$. --- **8)** $\cos 3\varphi - \cos 4\varphi - \cos 5\varphi + \cos 6\varphi$ Сгруппируем слагаемые попарно: $$ (\cos 6\varphi - \cos 4\varphi) - (\cos 5\varphi - \cos 3\varphi) $$ Применим формулу разности косинусов к каждой скобке: $$ -2\sin 5\varphi \sin\varphi - (-2\sin 4\varphi \sin\varphi) = -2\sin\varphi(\sin 5\varphi - \sin 4\varphi) $$ Применим формулу разности синусов: $$ \sin 5\varphi - \sin 4\varphi = 2\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right) $$ Получаем: $$ -2\sin\varphi \cdot 2\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{9\varphi}{2}\right) = -4\sin\varphi \sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{9\varphi}{2} $$ Ответ: $-4\sin\varphi \sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{9\varphi}{2}$. --- **9)** $\sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \sin 6\alpha$ Сгруппируем первое и третье слагаемые: $$ (\sin 6\alpha + \sin 2\alpha) + \sin 4\alpha = 2\sin 4\alpha \cos 2\alpha + \sin 4\alpha $$ Вынесем общий множитель $\sin 4\alpha$: $$ \sin 4\alpha(2\cos 2\alpha + 1) $$ Скобку также можно представить в виде произведения, учитывая, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$: $$ 2\left(\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\right) = 2\left(\cos 2\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\right) = 4\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $$ Тогда выражение полностью раскладывается на множители: $$ 4\sin 4\alpha \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $$ Ответ: $\sin 4\alpha(2\cos 2\alpha + 1)$ или $4\sin 4\alpha \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$. --- **10)** $3 + 4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 8\alpha = 2\cos^2 4\alpha - 1$: $$ 3 + 4\cos 4\alpha + (2\cos^2 4\alpha - 1) = 2\cos^2 4\alpha + 4\cos 4\alpha + 2 $$ Вынесем множитель $2$ за скобки: $$ 2(\cos^2 4\alpha + 2\cos 4\alpha + 1) = 2(\cos 4\alpha + 1)^2 $$ Используем формулу понижения степени $1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha$: $$ 2(2\cos^2 2\alpha)^2 = 2 \cdot 4\cos^4 2\alpha = 8\cos^4 2\alpha $$ Ответ: $8\cos^4 2\alpha$.