ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.143

1) Докажем тождество: $$ \frac{\sin 5\varphi - 2\sin 3\varphi \cos 3\varphi}{1 - \cos 5\varphi - 2\sin^2 3\varphi} = \operatorname{ctg} 5,5\varphi $$ Преобразуем числитель левой части, применив формулу синуса двойного угла $2\sin 3\varphi \cos 3\varphi = \sin 6\varphi$: $$ \sin 5\varphi - 2\sin 3\varphi \cos 3\varphi = \sin 5\varphi - \sin 6\varphi $$ Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + y}{2}$: $$ \sin 5\varphi - \sin 6\varphi = 2\sin\left(\frac{5\varphi - 6\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{5\varphi + 6\varphi}{2}\right) = 2\sin\left(-\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{11\varphi}{2}\right) = -2\sin 0,5\varphi \cos 5,5\varphi $$ Преобразуем знаменатель левой части, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 3\varphi = \cos 6\varphi$: $$ 1 - \cos 5\varphi - 2\sin^2 3\varphi = (1 - 2\sin^2 3\varphi) - \cos 5\varphi = \cos 6\varphi - \cos 5\varphi $$ Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x + y}{2}\sin\frac{x - y}{2}$: $$ \cos 6\varphi - \cos 5\varphi = -2\sin\left(\frac{6\varphi + 5\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{6\varphi - 5\varphi}{2}\right) = -2\sin 5,5\varphi \sin 0,5\varphi $$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{-2\sin 0,5\varphi \cos 5,5\varphi}{-2\sin 5,5\varphi \sin 0,5\varphi} = \frac{\cos 5,5\varphi}{\sin 5,5\varphi} = \operatorname{ctg} 5,5\varphi $$ Тождество доказано. 2) Докажем тождество: $$ \frac{2\cos^2 2\alpha + \cos 5\alpha - 1}{\sin 5\alpha + 2\cos 2\alpha \sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 4,5\alpha $$ Преобразуем числитель левой части, используя формулу косинуса двойного угла $2\cos^2 2\alpha - 1 = \cos 4\alpha$: $$ 2\cos^2 2\alpha + \cos 5\alpha - 1 = (2\cos^2 2\alpha - 1) + \cos 5\alpha = \cos 4\alpha + \cos 5\alpha $$ Применим формулу суммы косинусов: $$ \cos 5\alpha + \cos 4\alpha = 2\cos\left(\frac{5\alpha + 4\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{5\alpha - 4\alpha}{2}\right) = 2\cos 4,5\alpha \cos 0,5\alpha $$ Преобразуем знаменатель левой части, применив формулу синуса двойного угла $2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin 4\alpha$: $$ \sin 5\alpha + 2\cos 2\alpha \sin 2\alpha = \sin 5\alpha + \sin 4\alpha $$ Применим формулу суммы синусов: $$ \sin 5\alpha + \sin 4\alpha = 2\sin\left(\frac{5\alpha + 4\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{5\alpha - 4\alpha}{2}\right) = 2\sin 4,5\alpha \cos 0,5\alpha $$ Подставим полученные выражения в исходную дробь: $$ \frac{2\cos 4,5\alpha \cos 0,5\alpha}{2\sin 4,5\alpha \cos 0,5\alpha} = \frac{\cos 4,5\alpha}{\sin 4,5\alpha} = \operatorname{ctg} 4,5\alpha $$ Тождество доказано. 3) Докажем тождество: $$ \frac{\sin 4\beta + 2\sin 2\beta}{2(\cos\beta + \cos 3\beta)} = \cos \beta \operatorname{tg} 2\beta $$ Преобразуем числитель левой части: разложим $\sin 4\beta = 2\sin 2\beta \cos 2\beta$, вынесем общий множитель $2\sin 2\beta$ за скобки и применим формулу $1 + \cos 2\beta = 2\cos^2 \beta$: $$ \sin 4\beta + 2\sin 2\beta = 2\sin 2\beta \cos 2\beta + 2\sin 2\beta = 2\sin 2\beta (\cos 2\beta + 1) = 2\sin 2\beta \cdot 2\cos^2 \beta = 4\sin 2\beta \cos^2 \beta $$ Преобразуем знаменатель левой части с помощью формулы суммы косинусов $\cos 3\beta + \cos \beta = 2\cos 2\beta \cos \beta$: $$ 2(\cos\beta + \cos 3\beta) = 2 \cdot 2\cos\left(\frac{3\beta + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{3\beta - \beta}{2}\right) = 4\cos 2\beta \cos \beta $$ Подставим преобразованные выражения в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{4\sin 2\beta \cos^2 \beta}{4\cos 2\beta \cos \beta} = \frac{\sin 2\beta \cos \beta}{\cos 2\beta} = \frac{\sin 2\beta}{\cos 2\beta} \cdot \cos \beta = \operatorname{tg} 2\beta \cos \beta = \cos \beta \operatorname{tg} 2\beta $$ Тождество доказано. 4) Докажем тождество: $$ \frac{2\cos \psi + \cos 3\psi + \cos 5\psi}{\cos 3\psi + \sin \psi \sin 2\psi} = 4 \cos 2\psi $$ Преобразуем числитель левой части. Сгруппируем $\cos 5\psi + \cos 3\psi$ и применим формулу суммы косинусов: $$ \cos 5\psi + \cos 3\psi = 2\cos\left(\frac{5\psi + 3\psi}{2}\right)\cos\left(\frac{5\psi - 3\psi}{2}\right) = 2\cos 4\psi \cos \psi $$ Тогда числитель равен: $$ 2\cos 4\psi \cos \psi + 2\cos \psi = 2\cos \psi (\cos 4\psi + 1) $$ Используя формулу $1 + \cos 4\psi = 2\cos^2 2\psi$, получаем: $$ 2\cos \psi \cdot 2\cos^2 2\psi = 4\cos \psi \cos^2 2\psi $$ Преобразуем знаменатель левой части. Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$: $$ \sin \psi \sin 2\psi = \frac{1}{2}(\cos(2\psi - \psi) - \cos(2\psi + \psi)) = \frac{1}{2}(\cos \psi - \cos 3\psi) $$ Тогда знаменатель равен: $$ \cos 3\psi + \frac{1}{2}\cos \psi - \frac{1}{2}\cos 3\psi = \frac{1}{2}\cos 3\psi + \frac{1}{2}\cos \psi = \frac{1}{2}(\cos 3\psi + \cos \psi) $$ Применим формулу суммы косинусов: $$ \frac{1}{2} \cdot 2\cos\left(\frac{3\psi + \psi}{2}\right)\cos\left(\frac{3\psi - \psi}{2}\right) = \cos 2\psi \cos \psi $$ Подставим полученные числитель и знаменатель в дробь: $$ \frac{4\cos \psi \cos^2 2\psi}{\cos 2\psi \cos \psi} = 4\cos 2\psi $$ Тождество доказано.