ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.142

**1)** Докажем формулу $\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha$. Представим аргумент $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha + \alpha$ и применим формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$: $$ \sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha $$ Используем формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ и $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$: $$ \sin 3\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + (1 - 2 \sin^2 \alpha) \sin \alpha $$ $$ \sin 3\alpha = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $$ Заменим $\cos^2 \alpha$ по основному тригонометрическому тождеству на $1 - \sin^2 \alpha$: $$ \sin 3\alpha = 2 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $$ $$ \sin 3\alpha = 2 \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha $$ Формула доказана. --- **2)** Докажем формулу $\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha$. Представим $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$ и применим формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$: $$ \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha $$ Используем формулы двойного угла $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$ и $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$: $$ \cos 3\alpha = (2 \cos^2 \alpha - 1) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha $$ $$ \cos 3\alpha = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha $$ Заменим $\sin^2 \alpha$ по основному тригонометрическому тождеству на $1 - \cos^2 \alpha$: $$ \cos 3\alpha = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 (1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha $$ $$ \cos 3\alpha = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \cos \alpha + 2 \cos^3 \alpha $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $$ Формула доказана. --- **3)** Докажем формулу $\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg}^3 \alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 \alpha}$. Представим $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$ и применим формулу тангенса суммы: $$ \operatorname{tg} 3\alpha = \operatorname{tg}(2\alpha + \alpha) = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} \alpha} $$ Подставим формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$: $$ \operatorname{tg} 3\alpha = \frac{\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \cdot \operatorname{tg} \alpha} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на $(1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)$: $$ \operatorname{tg} 3\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha - 2 \operatorname{tg}^2 \alpha} $$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые в знаменателе: $$ \operatorname{tg} 3\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg}^3 \alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{3 \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg}^3 \alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 \alpha} $$ Формула доказана. --- **4)** Докажем формулу $\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{\operatorname{ctg}^3 \alpha - 3 \operatorname{ctg} \alpha}{3 \operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}$. Воспользуемся соотношением $\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha}$ и формулой для $\operatorname{tg} 3\alpha$, доказанной в пункте 3: $$ \operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{1 - 3 \operatorname{tg}^2 \alpha}{3 \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg}^3 \alpha} $$ Выразим тангенс через котангенс, подставив $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}$: $$ \operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{1 - 3 \cdot \left(\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}\right)^2}{3 \cdot \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} - \left(\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}\right)^3} = \frac{1 - \frac{3}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}}{\frac{3}{\operatorname{ctg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{ctg}^3 \alpha}} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на $\operatorname{ctg}^3 \alpha$: $$ \operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{\left(1 - \frac{3}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}\right) \cdot \operatorname{ctg}^3 \alpha}{\left(\frac{3}{\operatorname{ctg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{ctg}^3 \alpha}\right) \cdot \operatorname{ctg}^3 \alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^3 \alpha - 3 \operatorname{ctg} \alpha}{3 \operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} $$ Формула доказана.