ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.141

**1)** Упростим выражение: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta)$. Применим формулу произведения косинусов $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))$: $$ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)) + \cos((\alpha - \beta) - (\alpha + \beta))) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos(-2\beta)) $$ Так как косинус — чётная функция, то $\cos(-2\beta) = \cos 2\beta$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha - 1 + 2\cos^2\beta - 1) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha + 2\cos^2\beta - 2) = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - 1 $$ Подставим полученное выражение в исходное: $$ \cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha + \cos^2\beta - 1) = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha - \cos^2\beta + 1 = 1 $$ Ответ: $1$. --- **2)** Упростим выражение: $\sin^2\varphi + \sin^2\psi + \cos(\varphi + \psi)\cos(\varphi - \psi)$. Преобразуем произведение косинусов по формуле $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))$: $$ \cos(\varphi + \psi)\cos(\varphi - \psi) = \frac{1}{2}(\cos 2\varphi + \cos 2\psi) $$ Выразим косинусы двойных углов через синусы по формуле $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ \frac{1}{2}(\cos 2\varphi + \cos 2\psi) = \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2\varphi + 1 - 2\sin^2\psi) = \frac{1}{2}(2 - 2\sin^2\varphi - 2\sin^2\psi) = 1 - \sin^2\varphi - \sin^2\psi $$ Подставим полученное выражение в исходное: $$ \sin^2\varphi + \sin^2\psi + (1 - \sin^2\varphi - \sin^2\psi) = \sin^2\varphi + \sin^2\psi + 1 - \sin^2\varphi - \sin^2\psi = 1 $$ Ответ: $1$. --- **3)** Упростим выражение: $\cos^2\left(\varphi - \frac{5\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\varphi - \frac{5\pi}{8}\right)$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$: $$ \cos^2\left(\varphi - \frac{5\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\varphi - \frac{5\pi}{8}\right) = \cos\left(2\left(\varphi - \frac{5\pi}{8}\right)\right) = \cos\left(2\varphi - \frac{5\pi}{4}\right) $$ Упростим полученный аргумент с помощью свойства четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$ и формул приведения: $$ \cos\left(2\varphi - \frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4} - 2\varphi\right) = \cos\left(\pi + \left(\frac{\pi}{4} - 2\varphi\right)\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\varphi\right) = -\cos\left(2\varphi - \frac{\pi}{4}\right) $$ Ответ: $\cos\left(2\varphi - \frac{5\pi}{4}\right)$ (или $-\cos\left(2\varphi - \frac{\pi}{4}\right)$).