ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.140

1) Докажем тождество: $$ 1 + 2\cos 2x = 4\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) $$ Преобразуем правую часть тождества, применив формулу произведения косинусов $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$: $$ 4\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 2 \cdot \left(2\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right) $$ $$ = 2\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + x\right) + \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right)\right) $$ $$ = 2\left(\cos\frac{2\pi}{6} + \cos 2x\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos 2x\right) $$ Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем: $$ 2\left(\frac{1}{2} + \cos 2x\right) = 1 + 2\cos 2x $$ Левая и правая части равны: $1 + 2\cos 2x = 1 + 2\cos 2x$. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \sqrt{3} - 2\sin 2y = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} - y\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} + y\right) $$ Преобразуем правую часть, применив формулу произведения синуса и косинуса $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$: $$ 4\sin\left(\frac{\pi}{6} - y\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} + y\right) = 2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{6} - y\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right) $$ $$ = 2\left(\sin\left(\left(\frac{\pi}{6} - y\right) + \left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} - y\right) - \left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right)\right) $$ $$ = 2\left(\sin\frac{2\pi}{6} + \sin(-2y)\right) = 2\left(\sin\frac{\pi}{3} - \sin 2y\right) $$ Так как $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 2y\right) = \sqrt{3} - 2\sin 2y $$ Левая и правая части равны: $\sqrt{3} - 2\sin 2y = \sqrt{3} - 2\sin 2y$. Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ 1 - 4\sin^2 x = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) $$ Преобразуем правую часть, применив формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$: $$ 4\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\right) $$ $$ = 2\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{6} - x\right) - \left(\frac{\pi}{6} + x\right)\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} - x\right) + \left(\frac{\pi}{6} + x\right)\right)\right) $$ $$ = 2\left(\cos(-2x) - \cos\frac{2\pi}{6}\right) = 2\left(\cos 2x - \cos\frac{\pi}{3}\right) $$ Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, имеем: $$ 2\left(\cos 2x - \frac{1}{2}\right) = 2\cos 2x - 1 $$ Применим формулу косинуса двойного угла через синус $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ 2(1 - 2\sin^2 x) - 1 = 2 - 4\sin^2 x - 1 = 1 - 4\sin^2 x $$ Левая и правая части равны: $1 - 4\sin^2 x = 1 - 4\sin^2 x$. Тождество доказано. --- 4) Докажем тождество: $$ 3 - 4\cos^2 y = -4\sin\left(\frac{\pi}{6} + y\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - y\right) $$ Преобразуем правую часть, применив формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$: $$ -4\sin\left(\frac{\pi}{6} + y\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - y\right) = -2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{6} + y\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - y\right)\right) $$ $$ = -2\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + y\right) - \left(\frac{\pi}{6} - y\right)\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + y\right) + \left(\frac{\pi}{6} - y\right)\right)\right) $$ $$ = -2\left(\cos 2y - \cos\frac{2\pi}{6}\right) = -2\left(\cos 2y - \cos\frac{\pi}{3}\right) $$ Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем: $$ -2\left(\cos 2y - \frac{1}{2}\right) = -2\cos 2y + 1 = 1 - 2\cos 2y $$ Применим формулу косинуса двойного угла через косинус $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$: $$ 1 - 2(2\cos^2 y - 1) = 1 - 4\cos^2 y + 2 = 3 - 4\cos^2 y $$ Левая и правая части равны: $3 - 4\cos^2 y = 3 - 4\cos^2 y$. Тождество доказано.