ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.134

**1)** Докажем тождество: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) $$ Преобразуем правую часть тождества, применив формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$: $$ \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \sin x\right) $$ Подставим табличные значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \cos x + \sin x $$ От перестановки слагаемых сумма не меняется: $$ \cos x + \sin x = \sin x + \cos x $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) $$ Преобразуем правую часть тождества, применив формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $$ \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} \cos x - \sin\frac{\pi}{4} \sin x\right) $$ Подставим табличные значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \cos x - \sin x $$ Заметим, что полученное выражение равно: $$ \cos x - \sin x = -(\sin x - \cos x) $$ *Примечание:* в условии задания содержится опечатка в знаке (при $x = 0$ левая часть равна $-1$, а правая равна $1$). Верным является тождество: $$ \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) $$ (либо $\sin x - \cos x = -\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$). С учётом исправления знака левая и правая части совпадают. Тождество доказано.