ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.131

Для разложения выражений на множители применим формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. 1) $\sin 3\alpha + \sin \alpha$ Используем формулу суммы синусов: $$ \sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2} $$ Получаем: $$ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha $$ 2) $\cos 2\alpha + \cos 3\alpha$ Используем формулу суммы косинусов: $$ \cos u + \cos v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2} $$ Получаем: $$ \cos 2\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{2\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos \frac{5\alpha}{2} \cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right) $$ Так как косинус — чётная функция, то есть $\cos(-\beta) = \cos \beta$: $$ 2 \cos \frac{5\alpha}{2} \cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cos \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $$ 3) $\cos x - \cos 3x$ Используем формулу разности косинусов: $$ \cos u - \cos v = -2 \sin \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2} $$ Получаем: $$ \cos x - \cos 3x = -2 \sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x - 3x}{2} = -2 \sin 2x \sin(-x) $$ Так как синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$: $$ -2 \sin 2x \cdot (-\sin x) = 2 \sin 2x \sin x $$ 4) $\sin y - \sin 5y$ Используем формулу разности синусов: $$ \sin u - \sin v = 2 \sin \frac{u - v}{2} \cos \frac{u + v}{2} $$ Получаем: $$ \sin y - \sin 5y = 2 \sin \frac{y - 5y}{2} \cos \frac{y + 5y}{2} = 2 \sin(-2y) \cos 3y $$ Учитывая нечётность синуса ($\sin(-2y) = -\sin 2y$): $$ 2 \cdot (-\sin 2y) \cos 3y = -2 \sin 2y \cos 3y $$ Ответ: 1) $2 \sin 2\alpha \cos \alpha$; 2) $2 \cos \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$; 3) $2 \sin 2x \sin x$; 4) $-2 \sin 2y \cos 3y$.