ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.133

1) Для выражения $\cos x + \sin y$ применим формулу приведения $\sin y = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$ и формулу суммы косинусов: $$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$ Получаем: $$ \cos x + \sin y = \cos x + \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = 2 \cos \frac{x + \left(\frac{\pi}{2} - y\right)}{2} \cos \frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - y\right)}{2} = 2 \cos\left(\frac{x - y}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x + y}{2} - \frac{\pi}{4}\right) $$ 2) Для выражения $\sin x - \cos y$ применим формулу приведения $\cos y = \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$ и формулу разности синусов: $$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $$ Получаем: $$ \sin x - \cos y = \sin x - \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = 2 \sin \frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - y\right)}{2} \cos \frac{x + \left(\frac{\pi}{2} - y\right)}{2} = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$ 3) Преобразуем $\sin^2 x - \sin^2 y$, разложив выражение как разность квадратов: $$ \sin^2 x - \sin^2 y = (\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y) $$ Применим формулы разности и суммы синусов: $$ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2} $$ $$ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $$ Перемножим полученные выражения и сгруппируем множители по формуле синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ \sin^2 x - \sin^2 y = \left(2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x + y}{2}\right) \left(2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\right) = \sin(x + y) \sin(x - y) $$ 4) Для выражения $\cos^2 x - \cos^2 y$ используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ \cos^2 x - \cos^2 y = (1 - \sin^2 x) - (1 - \sin^2 y) = \sin^2 y - \sin^2 x $$ Используя результат пункта 3, получаем: $$ \sin^2 y - \sin^2 x = \sin(y + x) \sin(y - x) = -\sin(x + y) \sin(x - y) $$ 5) Преобразуем выражение $\sin^2 x - \cos^2 y$ с помощью формул понижения степени: $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 y = \frac{1 + \cos 2y}{2} $$ Подставим их в исходное выражение: $$ \sin^2 x - \cos^2 y = \frac{1 - \cos 2x}{2} - \frac{1 + \cos 2y}{2} = \frac{1 - \cos 2x - 1 - \cos 2y}{2} = -\frac{\cos 2x + \cos 2y}{2} $$ Применим формулу суммы косинусов: $$ -\frac{\cos 2x + \cos 2y}{2} = -\frac{2 \cos \frac{2x + 2y}{2} \cos \frac{2x - 2y}{2}}{2} = -\cos(x + y) \cos(x - y) $$ 6) Преобразуем $\tan x - \tan y$, выразив тангенс через отношение синуса к косинусу: $$ \tan x - \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y} $$ Используем формулу синуса разности в числителе $\sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin(x - y)$: $$ \tan x - \tan y = \frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y} $$ (при условии, что $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$).